在agda的可决定性框架内工作

Question

我在使用字符串可确定性时遇到麻烦。首先，我感到困惑，为什么在阿格达（Agda）中难以决定性工作，而在Coq中看起来却像黄油一样光滑。当我尝试证明有关字符串的简单定理时，Agda会展开这种混乱的定义，除非您确切知道要执行的操作，否则几乎无法使用该定义。如何通过模式匹配使字符串保持可决定性，从而使定义保持原样？

我使用的是Stump的keep函数，而不是Agda的检查。

keep : ∀{ℓ}{A : Set ℓ} → (x : A) → Σ A (λ y → x ≡ y)
keep x = ( x , refl )

--first roadblock
eqbStringrefl' : forall (b : String) →  true ≡ (b == b)
eqbStringrefl' b with keep (b ≟ b)
eqbStringrefl' b | (.true Relation.Nullary.because Relation.Nullary.ofʸ refl) , snd = {!!}
eqbStringrefl' b | (.false Relation.Nullary.because Relation.Nullary.ofⁿ ¬p) , snd = {!!}

这是阿格达的输出：

-- Goal: true ≡
--       Relation.Nullary.Decidable.Core.isYes
--       (Relation.Nullary.Decidable.Core.map′
--        (λ x →
--           Agda.Builtin.String.Properties.primStringToListInjective b b
--           (Data.List.Relation.Binary.Pointwise.Pointwise-≡⇒≡
--            (Data.List.Relation.Binary.Pointwise.map
--             (λ {z} {z = z₁} →
--                Agda.Builtin.Char.Properties.primCharToNatInjective z z₁)
--             x)))
--        (λ x →
--           Data.List.Relation.Binary.Pointwise.map
--           (cong Agda.Builtin.Char.primCharToNat)
--           (Data.List.Relation.Binary.Pointwise.≡⇒Pointwise-≡
--            (cong Data.String.toList x)))
--        (Data.List.Relation.Binary.Pointwise.decidable
--         (λ x y →
--            Relation.Nullary.Decidable.Core.map′
--            (Data.Nat.Properties.≡ᵇ⇒≡ (Agda.Builtin.Char.primCharToNat x)
--             (Agda.Builtin.Char.primCharToNat y))
--            (Data.Nat.Properties.≡⇒≡ᵇ (Agda.Builtin.Char.primCharToNat x)
--             (Agda.Builtin.Char.primCharToNat y))
--            (Data.Bool.Properties.T?
--             (Agda.Builtin.Char.primCharToNat x Data.Nat.≡ᵇ
--              Agda.Builtin.Char.primCharToNat y)))
--         (Data.String.toList b) (Data.String.toList b)))
-- ————————————————————————————————————————————————————————————
-- snd : Relation.Nullary.Decidable.Core.map′
--       (λ x →
--          Agda.Builtin.String.Properties.primStringToListInjective b b
--          (Data.List.Relation.Binary.Pointwise.Pointwise-≡⇒≡
--           (Data.List.Relation.Binary.Pointwise.map
--            (λ {z} {z = z₁} →
--               Agda.Builtin.Char.Properties.primCharToNatInjective z z₁)
--            x)))
--       (λ x →
--          Data.List.Relation.Binary.Pointwise.map
--          (cong Agda.Builtin.Char.primCharToNat)
--          (Data.List.Relation.Binary.Pointwise.≡⇒Pointwise-≡
--           (cong Data.String.toList x)))
--       (Data.List.Relation.Binary.Pointwise.decidable
--        (λ x y →
--           Relation.Nullary.Decidable.Core.map′
--           (Data.Nat.Properties.≡ᵇ⇒≡ (Agda.Builtin.Char.primCharToNat x)
--            (Agda.Builtin.Char.primCharToNat y))
--           (Data.Nat.Properties.≡⇒≡ᵇ (Agda.Builtin.Char.primCharToNat x)
--            (Agda.Builtin.Char.primCharToNat y))
--           (Data.Bool.Properties.T?
--            (Agda.Builtin.Char.primCharToNat x Data.Nat.≡ᵇ
--             Agda.Builtin.Char.primCharToNat y)))
--        (Data.String.toList b) (Data.String.toList b))
--       ≡ Relation.Nullary.yes refl
-- b   : String

如果现在我进行重写，则目标被简化了，但假设列表中仍然有些混乱。当我尝试ctrl-a时，尽管目标似乎是不可推断的，但仍收到以下错误：

Goal: true ≡ true
Not implemented: The Agda synthesizer (Agsy) does not support
copatterns yet

尽管如此，我仍然可以继续使用snd术语，这似乎很干净，然后只需应用基本规则即可得出最终证明。

eqbStringrefl'' : forall (b : String) →  true ≡ (b == b)
eqbStringrefl'' b with keep (b ≟ b)
eqbStringrefl'' b | (.true Relation.Nullary.because Relation.Nullary.ofʸ refl) , snd rewrite snd = {!!}
eqbStringrefl'' b | (.false Relation.Nullary.because Relation.Nullary.ofⁿ ¬p) , snd = {!!}
-- eqbStringrefl'' b | (.true Relation.Nullary.because Relation.Nullary.ofʸ refl) , snd rewrite snd = refl
-- eqbStringrefl'' b | (.false Relation.Nullary.because Relation.Nullary.ofⁿ ¬p) , snd = ⊥-elim (¬p refl)

最后一行是完整的证明。任何建议都会有所帮助！

Answer 1

通过导入定义了可判定性概念的Relation.Nullary，您将获得yes and no patterns的访问权，而Agda会很高兴地加糖yes为no另一个为(.true Relation.Nullary.because Relation.Nullary.ofʸ refl)。

关于目标的类型，它来自以下事实：字符串的相等性是通过字符列表上的按点相等来获得的，而字符的相等性是通过它们的基本表示形式为数字来获得的。这有点罗word，但这为我们提供了一个由Agda认可的安全且相当有效的定义。