为什么 math.cos(math.pi/2) 不返回零？

Question

我遇到了

math.cos()

（Python 3.11.0）的一些奇怪行为：

>>> import math
>>> math.cos(math.pi)  # expected to get -1
-1.0
>>> math.cos(math.pi/2)  # expected to get 0
6.123233995736766e-17

我怀疑浮点数学可能会在其中发挥作用，但我不确定如何。如果是这样，我假设 Python 只是检查参数是否等于

math.pi/2

开始。

我找到了Jon Skeet 的这个答案，他说：

基本上，当您的输入不能表示为精确的二进制值时，您不应该期望二进制浮点运算完全正确 - pi/2 不能，因为它是非理性的。

但如果这是真的，那么

math.cos(math.pi)

也不应该起作用，因为它也使用了

math.pi

近似值。我的问题是：为什么只有在使用

math.pi/2

时才会出现这个问题？

Answer 1

math.pi

与 π 中的任何错误（总是有一些）在一种情况下影响很小

math.cos(math.pi)

并且在

math.cos(math.pi/2)

中非常重要。

---

曲线平坦

当

math.cos(x)

非常接近1.0时，曲线非常平坦：斜率“接近”零。大约 4700 万 浮点数

x

接近 π 的值在数学上具有

cos(x)

大于 -1.0，但它们的值比下一个可编码值 -0.99999999999999988897...

更接近 -1.0

曲线的斜率为1

x

接近 π 和

math.cos(x/2)

接近 0.0，余弦曲线有一个 |斜率 | “接近”一个。下一个较小的和下一个较大的可编码

x

都有不同的

cos(x/2)

.

结论

当|结果|

sin(x)/cos(x)

接近 1.0，many 附近

x

值将报告 1.0.

即使某些

x

值非常接近 π，这也是正确的。

对于 π 附近的

x

（如

math.pi

）和

y = |cos(x)|

，我们需要大约两倍的

y

精度才能看到

x

中的不精确性。

Answer 2

math.cos(math.pi)

的结果会有类似程度的不准确，但是

-1.0 + 6e-17

不能用浮点精度表示，所以你只能得到

-1.0

。这可以这样证明：

>>> -1.0000_0000_0000_001
# -1.000000000000001
>>> -1.0000_0000_0000_0001
# -1.0

Answer 3

两个原因：

1. 我想你知道这一点，但值得重复：你没有取 π/2 的余弦。 我知道你试过了，但你没有。你取了 1.5707963267948965579989817342720925807952880859375 的余弦值，它非常接近 π/2，但不是 exactly π/2。而这个数的余弦，正如

   math.cos

   告诉你的那样，是一个接近但不完全等于0的小数。如果你能更准确地表示π/2，你可以获得更接近0的结果，但在现在在某些情况下，您不能比这更准确地表示 π/2：IEEE-754 浮点数具有有限的精度，而 1.570…375 是您能做的最好的。

2. 在计算机编程中（就像在一般生活中一样），当你做错事时，有时你可以侥幸逃脱。当某些东西不能保证工作时，这并不意味着它一定不会工作。当你取 cos(π) 时，你得到了“幸运”，你得到了 1.0 的答案，即使在那种情况下你实际上取了 cos(3.141592653589793115997963468544185161590576171875)。 （如果你玩得更精确，你会发现 cos(3.141…875) 实际上大约是 -0.999999999999999999999999999999925，但这个数字也不可表示，四舍五入为 1.0。）

事实上，如果你深入挖掘，这些结果并不是随机的。其他答案解释了为什么，从数学上讲，即使您不能准确地表示 π 或 π/2，当取其中一个的余弦时，您可以获得比另一个更接近的结果。