将两个矩阵按列相乘以获得向量

Question

我有两个大小相等的矩阵

A

和

B

，它们实际上是独立列向量的集合。我需要对

*

中的每一列与

mtimes

中的相应列执行“矩阵乘法”（

A

或

B

）。结果我得到一个向量，其元素数等于列数。最简单的方法是循环，但我需要这样做数千次，并且我的矩阵至少具有

>2000x16...200

的大小 - 所以矢量化会有所帮助。

此外，还涉及到一个权重矩阵。

考虑以下示例：

nDof  = 250;    % number of rows
nCols = 16;     % number of columns

% Example complex matrices 
A = rand(nDof,nCols) + 1j*rand(nDof,nCols); 
B = rand(nDof,nCols) + 1j*rand(nDof,nCols); 
% Weighting Matrix
W = rand(nDof,nDof)  + 1j*rand(nDof,nDof); 

% Option 1: Loop - multpliy matrices column by column with/without wighting
X1 = zeros(nCols,1);  Y1 = zeros(nCols,1);
for ii = 1:nCols
    X1(ii) = A(:,ii)'     * B(:,ii);
    Y1(ii) = A(:,ii)' * W * B(:,ii);
end

% Option 2: avoid loop
X2temp = A'     * B;
Y2temp = A' * W * B;
% => seemingly diagonal elements are what I need
X2 = diag(X2temp);
Y2 = diag(Y2temp);
    
% Test
disp(X2-X1)
disp(Y2-Y1)

如您所见，在选项 2 中，我尝试通过直接将矩阵相乘来避免循环。所得矩阵的对角线元素非常接近循环的结果。但只是接近而不是相等。尽管对于我的情况来说，错误可能非常小，但它似乎太大，不能仅由浮点不准确引起。

测试结果：

X2-X1  =  1.0e-13 *

  0.426325641456060 + 0.355271367880050i
  0.284217094304040 + 0.852651282912120i
 -0.284217094304040 - 0.426325641456060i
  0.000000000000000 + 0.142108547152020i
 -0.284217094304040 - 0.213162820728030i
  0.284217094304040 - 0.923705556488130i
  0.568434188608080 + 0.355271367880050i
  0.000000000000000 + 0.142108547152020i
  0.000000000000000 + 0.071054273576010i
 -0.284217094304040 + 0.497379915032070i
  0.284217094304040 - 0.426325641456060i
 -0.284217094304040 + 0.142108547152020i
  0.000000000000000 + 0.000000000000000i
 -0.284217094304040 + 0.142108547152020i
 -0.284217094304040 - 0.213162820728030i
  0.284217094304040 - 0.284217094304040i

Y2-Y1 = 1.0e-10 *

  0.000000000000000 + 0.036379788070917i
 -0.018189894035459 + 0.072759576141834i
 -0.072759576141834 - 0.072759576141834i
  0.036379788070917 - 0.109139364212751i
  0.090949470177293 + 0.054569682106376i
 -0.109139364212751 + 0.054569682106376i
  0.109139364212751 - 0.163709046319127i
  0.018189894035459 - 0.127329258248210i
  0.072759576141834 - 0.018189894035459i
  0.036379788070917 - 0.036379788070917i
  0.018189894035459 + 0.000000000000000i
  0.109139364212751 - 0.072759576141834i
 -0.018189894035459 - 0.018189894035459i
  0.000000000000000 - 0.054569682106376i
 -0.018189894035459 + 0.036379788070917i
  0.036379788070917 - 0.036379788070917i

所以。 正确的做法是什么？最快的方法是什么？

谢谢！

Answer 1

您可以进行逐元素乘积，然后沿第一个轴进行

sum

：

X = sum(conj(A).*B,1);
Y = sum(conj(A).* (W*B), 1);

如果您想将结果作为列向量，请转置 (

.'

) 或伴随 (

'

) 结果。