用Python解决耦合的PDE

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我不理解如何使用python或python ode求解器求解耦合的PDE方程中的eta和V。 (或者是否可以在没有求解器的情况下对这些耦合方程进行数值求解?)我已经花了几天时间,但是我仍然不知道如何开始!任何提示都会有所帮助。我了解[

中给出的示例

Solve 4 coupled differential equations in MATLAB

但是我仍然需要更多提示来说明如何将这些原理应用于下面的耦合PDE。

coupled PDEs

我想绘制一个eta和V的时间序列,给定强迫输入tau的时间序列。

x是空间点,t是时间点。 h和f是根据x的值分配的。V = V(x,t)eta = eta(x,t)tau = tau(x,t)h = h(x),f = f(x)而g和rho是常数。边界值为V(0,0)= 0,eta(0,0)= 0和tau(0,0)=0。假设处于稳态条件,则通过将tau_sy和tau_by相等来找到解(V)。

python-3.x physics numerical-methods pde
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好,所以这是一个稍微简单的数字方案,它显示了系统的概念属性。它类似于(显式)欧拉方法。可以很容易地将其推广为类似的隐式欧拉式方法。

您被赋予:

功能h(x)f(x)tau_sx(x, t)tau_sy(x, t)tau_by(x, t)

常数grho

您正在寻找:

满足以上一对微分方程的函数V(x, t)eta(x, t)

为了能够找到此问题的解决方案,您需要提供:

[V(x, 0) = V0(x)eta(0, t) = eta0(t)

假设您的域是[0, L] X [0, T],其中x中的[0, L]t中的[0, T]。按如下所示离散域:选择MN正整数,并让dx = L / Mdt = T / N。然后,对于任何整数x = m dxt = n dt,仅考虑点m = 0, 1, ..., Mn = 0, 1, ..., N的有限组。

我将把所有函数限制在上面定义的有限点上,并对任意函数funct使用以下符号:

对于funct(x, t) = funct[m, n]funct(x) = funct[m]中的任何一个,[x = m dxt = n dt

然后,微分方程组可以离散为

g*(h[m] + eta[m,n])*(eta[m+1, n] - eta[m,n])/dx = f[m]*(h[m] + eta[m,n])*V[m,n] + tau_sx[m,n]/rho

(V[m, n+1] - V[m,n])/dt = (tau_sy[m,n] - tau_by[m,n])/(rho*(h[m] + eta[m,n]))

解决eta[m+1,n]V[m,n+1]

eta[m+1,n] = eta[m,n] + f[m]*V[m,n]*dx/g + tau_sx[m,n]*dx/(g*rho*(h[m] + eta[m,n]))

V[m,n+1] = V[m,n] + (tau_sy[m,n] - tau_by[m,n])*dt/(rho*(h[m] + eta[m,n]))

为简单起见,我将上述等式的右边缩写为

eta[m+1,n] = F_eta(m, n, eta[m,n], V[m,n])

V[m,n+1] = F_V(m, n, eta[m,n], V[m,n])

即类似

def F_eta(m, n, eta[m,n], V[m,n]):
    return eta[m,n] + f[m]*V[m,n]*dx/g + tau_sx[m,n]*dx/(g*rho*(h[m] + eta[m,n]))

def F_V(m, n,  eta[m,n], V[m,n]):
    return V[m,n] + (tau_sy[m,n] - tau_by[m,n])*dt/(rho*(h[m] + eta[m,n]))

根据边界条件,我们知道

eta[0,n] = eta0[n] = eta0(n*dt)

V[m,0] = V0[m] = V0(m*dx)

作为输入,对于m = 0,..., Mn = 0,..., N

for n in range(N):
    for m in range(M):
        eta[m+1,n] = F_eta(m, n, eta[m,n], V[m,n])
        V[m,n+1] = F_V(m, n, eta[m,n], V[m,n])

((您必须调整这些循环才能到达最右边和最上面的边界点,但是原理保持不变)

[基本上,您遵循此模式:沿水平x轴生成eta,同时向上生成一层V。然后您向上移动到下一个水平位置。

o --eta--> o --eta--> o --eta--> o --eta--> o
|          |          |          |          | 
V          V          V          V          V
|          |          |          |          |
o --eta--> o --eta--> o --eta--> o --eta--> o 
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