这个修改后的二进制搜索实现仍然是O（log n）吗？

Question

以下是二进制搜索的略微修改的实现，它找到第一次出现的Integer键。

这还是O（log n）吗？我在确定在最坏的情况下是否会变成O（n）时遇到一些麻烦。

private static Integer lowestRank(Integer[] a, Integer key) {
    Integer lo = 0;
    Integer hi = a.length - 1;

    while (lo <= hi) {
        Integer mid = lo + ((hi - lo) / 2);
        if (key.compareTo(a[mid]) > 0) {
            lo = mid + 1;
        } else if (key.compareTo(a[mid]) < 0) {
            hi = mid - 1;

        // Modified here to return the first occurrence of the key, if it exists
        } else if (lo < mid) {
            hi = mid;

        } else {
            return mid;
        }
    }

    return -1;
}

Answer 1

是的，它仍然是O(log(n))。第三个条件语句仅在key.compareTo(a[mid]) == 0（因为前两个条件消除不等式情况）和lo < mid时运行。

如果密钥在数组中只存在一次，则该分支最多只发生一次;如果密钥不存在，则根本不会发生。由于条件本身以及条件体中的所有内容都是恒定时间操作，因此运行时间仍为O(log(n))。

如果密钥多次出现怎么办？首先，无论如何，这个条件分支的目的是什么：

else if (lo < mid) {
    hi = mid;
}

如果lo < mid，这意味着我们没有扫描列表的全部范围。因此，我们设置hi = mid，从而建立mid作为我们搜索的上限。

因此，即使密钥多次出现，搜索范围在每次迭代时减半。

Answer 2

假设我们将单个语句建模为O（1），那么我们的整体复杂性由循环迭代的数量决定。

如果我们将范围（[lo, hi)）减少每次迭代的恒定量（平均），则迭代次数只能是O（n）。在所有三个相关案例中，显然情况并非如此 - 平均范围总是减半。