如何在Morte上代表任意GADT？

Question

表达正常数据类型（如列表和nat）非常简单，并且有很多示例。但是，翻译GADT的通用程序是什么？将典型类型（如Vector和依赖产品）从Idris转换为Morte的一些示例将非常具有说明性。

Answer 1

您不能获得依赖于数据类型元素的消除器，但您可以定义依赖于数据类型元素索引的消除器。因此，Vectors是可表示的（代码在Agda中）：

Nat = (P : Set) -> (P -> P) -> P -> P

zero : Nat
zero = λ P f z -> z

suc : Nat -> Nat
suc = λ n P f z -> f (n P f z) 

plus : Nat -> Nat -> Nat
plus = λ n m P f z -> n P f (m P f z)

Vec = λ (A : Set) (n : Nat) ->
  (P : Nat -> Set) -> (∀ n -> A -> P n -> P (suc n)) -> P zero -> P n

nil : ∀ A -> Vec A zero
nil = λ A P f z -> z

cons : ∀ A n -> A -> Vec A n -> Vec A (suc n)
cons = λ A n x xs P f z -> f n x (xs P f z)

concat : ∀ A n m -> Vec A n -> Vec A m -> Vec A (plus n m)
concat = λ A n m xs ys P f z -> xs (λ n -> P (plus n m)) (λ n -> f (plus n m)) (ys P f z)

这些与Church编码列表非常相似，您只需创建一个类型，您可以根据所定义的数据类型的索引进行消除，并更改归纳假设以反映数据类型的构造函数的结构。即你有

cons : ∀ A n -> A -> Vec A n -> Vec A (suc n)

所以相应的归纳假设是

∀ n -> A -> P n -> P (suc n)

为了定义没有归纳类型的从属对，你需要非常/ insanely dependent types（sigma是here），它允许函数的结果取决于定义的同一个函数。当然，莫特没有这个。

Answer 2

可以表示的所有内容都记录在Morte tutorial中。 GADT和（更一般地）索引类型不存在，实际上它们是不可能的。

（编辑：实际上可以代表GADT;请参阅user3237465的其他答案）

Vector类型本身可以编码，但其值不可用。 Vector n A是一对n嵌套的A-s：

Unit   = \(A : *) -> A -> A
Pair   = \(A B : *) -> (P : *) -> (A -> B -> P) -> P
Nat    = (N : *) -> (N -> N) -> N -> N
Vector = \(n : Nat)(A : *) -> n * (\(t : *) -> Pair A t) Unit

但是为Vector n A编写任何有用的函数都需要在其n长度上进行归纳，但Morte没有归纳类型。

需要明确的是，通过归纳，我的意思是对于某种类型，可以推导出对应于结构诱导原理的函数。这些是折叠的一般化，其中输出类型可能取决于输入值。对于某些自然数字类型Nat : *与suc : Nat -> Nat和zero : Nat归纳有以下类型：

natInd : 
      (N : Nat -> *)                   -- a predicate,
   -> ((n : Nat) -> N n -> N (suc n))  -- if it's preserved by suc
   -> N zero                           -- and holds for zero,
   -> (n : Nat) -> N n                 -- holds for every Nat

折叠在Vector上时，类型随着长度而变化（因为前者取决于后者）。然而，对于Church Nat，我们只有非依赖性折叠（又名“递归”）而不是可能改变类型的折叠（又称“归纳”）。

Answer 3

是。例如，this answer展示了如何编写Refl类型。

假设我们想构建一个简单的DSL。这是怎么做的ti：

Expr t = forall (E :: * -> *). forall
    (IntLit :: Integer -> E Integer),
    (IntVar :: Char -> E Integer),
    (Add :: E Integer -> E Integer -> E Integer),
    (Mult :: E Integer -> E Integer -> E Integer),
    (Neg :: E Integer -> E Integer),
    (IntEq :: E Integer -> E Integer -> E Bool),
    (Lt :: E Integer -> E Integer -> E Bool),
    (And :: E Bool -> E Bool -> E Bool),
    (Or :: E Bool -> E Bool -> E Bool),
    (Not :: E Bool -> E Bool),
    (If :: (forall x :: *. E Bool -> E x -> E x -> E x)).
    E t