三次模型系数与实际情况截然不同，但提供了正确的预测

Question

我尝试拟合三次模型并将其用于 R 中的预测，虽然提供的预测是准确的，但考虑到预测值，模型的系数没有任何意义。

下面是我运行时的输出

summary(lm(Blur ~ poly(logMAR, 3), data = df))

:

Call:
lm(formula = Blur ~ poly(logMAR, 3), data = df)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-20.7838  -2.0661  -0.0868   2.3009  23.8918 

Coefficients:
                 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)       35.0000     0.7775  45.015   <2e-16 ***
poly(logMAR, 3)1 230.6529     6.7782  34.029   <2e-16 ***
poly(logMAR, 3)2  94.3878     6.7782  13.925   <2e-16 ***
poly(logMAR, 3)3  19.6777     6.7782   2.903   0.0049 ** 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 6.778 on 72 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9497,    Adjusted R-squared:  0.9476 
F-statistic: 453.4 on 3 and 72 DF,  p-value: < 2.2e-16

随后调用

coef(model)

时，返回：

     (Intercept) poly(logMAR, 3)1 poly(logMAR, 3)2 poly(logMAR, 3)3 
        35.00000        230.65294         94.38777         19.67767 

总结准确，但是当我调用

predict(model, newdata = data.frame(logMAR = c(0.37, 0.74, 1.15))

时，它返回：

        1         2         3 
 3.492585 11.469869 31.099493 

但是，如果我根据系数手动计算预测，答案将是：

[1] 134.2600 265.3438 455.0060

经过与图的各种比较，较小的输出更有意义，并且 R 总结的系数似乎太大，使得手动计算不准确。我使用替代软件和在线工具对模型进行了健全性检查，结果返回较小的系数 β0 = 1.3415、β1 = 0.9073、β2 = 9.2517 和 β3 = 10.8354。

使用较小系数的手动计算与 R 中的

predict()

函数一致。

        1         2         3 
 3.492585 11.469869 31.099493 

R的系数那么大是有原因的吗

summary()

，是我手动计算错误还是看错地方了？

Answer 1

正如评论中所说，

poly

默认使用正交多项式，not只是

a0 + a1 * x + a2 * x ^ 2 + a3 *  x ^ 3

。但是，您可以要求原始多项式。

以下玩具示例说明了该问题：

set.seed(123)
d <- data.frame(x = runif(100))
d$y <- (d$x + 4) ^ 3 + rnorm(100, sd = .2)

mo <- lm(y ~ poly(x, degree = 3), data = d)
mr <- lm(y ~ poly(x, degree = 3, raw = TRUE), data = d)

bd <- data.frame(x = 2)
predict(mo, bd)
predict(mr, bd) ## same

sum(coef(mr) * 2 ^ (0:3)) ## raw polys can be interpreted like this
# [1] 220.7312
sum(coef(mo) * 2 ^ (0:3)) ## however, orthogonal ones not --> wrong
[1] 480.2738
sum(coef(mo) * c(1, predict(poly(d$x, degree = 3), 2))) ## but you can use them this way
# [1] 220.7312