为什么在 Haskell 中添加两个有理数时会得到这个结果

Question

考虑这个简短的 GHCi 会议：

ghci> import Data.Ratio
ghci> import Data.Word
ghci> 128 % 3 + 127 % 3 :: Ratio Word8
253 % 9

为什么结果是

253 % 9

而不是

255 % 3 (= 85 % 1)

？

这确实是我的问题，但我很乐意详细说明。

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首先，如果我删除类型，结果就是我所期望的：

ghci> 128 % 3 + 127 % 3
85 % 1

类型

Word8

似乎很重要。我知道潜在的整数溢出，但即便如此，我也无法理解结果。例如

ghci> 128 + 127 :: Word8
255

这里没有溢出。这首先发生在

ghci> 128 + 128 :: Word8
0
ghci> 128 + 129 :: Word8
1

如果我除以二而不是三，我仍然可以理解结果：

ghci> 128 % 2 + 127 % 2 :: Ratio Word8
255 % 2
ghci> 128 % 2 + 128 % 2 :: Ratio Word8
128 % 1
ghci> 128 % 2 + 129 % 2 :: Ratio Word8
1 % 2
ghci> 129 % 2 + 129 % 2 :: Ratio Word8
1 % 1

这里

128 % 2 + 128 % 2

甚至会产生

128 % 1

正如人们所希望的那样。所有这些似乎都作为“正常”模 256 算术完全有意义，但是当我以三分之一而不是一半计算时会发生什么？为什么分母是

9

？

Answer 1

这是因为有理数的加法定义为

(x:%y) + (x':%y')   =  reduce (x*y' + x'*y) (y*y')

由于这里的一切都是

Word8

，所以每个操作都是单独执行的

mod 256

。

(128*3)   `mod` 256 = 128
(127*3)   `mod` 256 = 125
(128+125) `mod` 256 = 253