在 JavaScript 中计算模逆

Question

我正在尝试采用 ed = 1 mod((p-1)(q-1)) 并求解 d，就像 RSA 算法一样。

e = 5, (p-1)*(q-1) = 249996

我在 javascript 中尝试了很多代码，例如：

function modInverse(){
var e = 5;
var p = 499;
var q = 503;
var d = e.modInverse((p-1) * (q-1));
DisplayResult(d, "privateKeyResultLabel")
}

或

function modInverse(){ 
System.out.println(BigInteger.valueOf(5).modInverse(BigInteger.valueOf(249996)));
}

我只是想不出在 javascript 中求解 d（模逆）的正确方法。

Answer 1

我刚刚经历了模乘逆的定义，据我所知：

ax = 1 (mod m)
=> m is a divisor of ax -1 and x is the inverse we are looking for
=> ax - 1 = q*m (where q is some integer)
And the most important thing is gcd(a, m) = 1
i.e. a and m are co-primes

你的情况：

ed = 1 mod((p-1)(q-1)) //p, q and e are given 
=> ed - 1 = z*((p-1)(q-1)) //where z is some integer and we need to find d

再次从维基百科条目，可以使用执行以下操作的扩展欧几里德GCD算法计算模逆：

ax + by = g //where g = gcd(a,b) i.e. a and b are co-primes
//The extended gcd algorithm gives us the value of x and y as well.

在你的情况下，等式是这样的：

ed - z*((p-1)(q-1)) = 1; //Compare it with the structure given above

a -> e
x -> d
b -> (p-1)(q-1)
y -> z

因此，如果我们将该算法应用于这种情况，我们将获得

d

和

z

的值。

对于

ax + by = gcd(a,b)

，扩展的gcd算法可能看起来像（source）：

function xgcd(a, b) { 

  if (b == 0) {
    return [1, 0, a];
  }

  temp = xgcd(b, a % b);
  x = temp[0];
  y = temp[1];
  d = temp[2];
  return [y, x-y*Math.floor(a/b), d];
}

该算法运行时间为O(log(m)^2)，假设|a| < m, and is generally more efficient than exponentiation.

我不知道javascript中是否有内置函数。我怀疑是否存在，而且我是算法的粉丝，所以我认为您可能想尝试一下这种方法。你可以摆弄它并改变它来处理你的价值观范围，我希望它能让你朝着正确的方向开始。

Answer 2

模块化逆的这种实现可以接受任何类型的输入。如果不支持输入类型，则返回

NaN

。此外，它不使用递归。

function modInverse(a, m) {
  // validate inputs
  [a, m] = [Number(a), Number(m)]
  if (Number.isNaN(a) || Number.isNaN(m)) {
    return NaN // invalid input
  }
  a = (a % m + m) % m
  if (!a || m < 2) {
    return NaN // invalid input
  }
  // find the gcd
  const s = []
  let b = m
  while(b) {
    [a, b] = [b, a % b]
    s.push({a, b})
  }
  if (a !== 1) {
    return NaN // inverse does not exists
  }
  // find the inverse
  let x = 1
  let y = 0
  for(let i = s.length - 2; i >= 0; --i) {
    [x, y] = [y,  x - y * Math.floor(s[i].a / s[i].b)]
  }
  return (y % m + m) % m
}

// Tests
console.log(modInverse(1, 2))       // = 1
console.log(modInverse(3, 6))       // = NaN
console.log(modInverse(25, 87))     // = 7
console.log(modInverse(7, 87))      // = 25
console.log(modInverse(19, 1212393831))     // = 701912218
console.log(modInverse(31, 73714876143))    // = 45180085378
console.log(modInverse(3, 73714876143))     // = NaN
console.log(modInverse(-7, 87))     // = 62
console.log(modInverse(-25, 87))    // = 80
console.log(modInverse(0, 3))       // = NaN
console.log(modInverse(0, 0))       // = NaN