使用邻接矩阵作为数据结构的Kruskal算法的时间效率

Question

这是我用于Kruskal算法的伪代码。我在这里使用的数据结构是一个邻接矩阵。我得到了n^2的增长顺序。我想知道它是否正确。

Kruskal’s Pseudo code

1. Kruskal (n, m, E)
2. // Purpose to compute the minimum spanning tree using Kruskal's algorithm
3. // Inputs
4.  n - Number of vertices in the graph
5.  m - Number of edges in the graph
6.  E - Edge list consisting of set of edges along with equivalent weight
    w - cost adjacency matrix with values >0
7.  con – constrain adjacency matrix 
8. // Output: - the minimum spanning tree along
9.  count - shortest distance from the source to all other nodes
d - shortest distance from source to all other nodes
10. p - shortest path from source to destination
11. s - gives the nodes that are so far visited and nodes that are not visited  
12.  s [source] <- 1
13.  For i = 0 to n-1 Do
14. If con[u, i] == T Then
15.     add u to S
16.     select edge that need to be connected
17.     add cost associated with edge to get total cost of minimal spanning tree
18. Else
19.     find u and d[u] such that d[u] is minimum and u Є V - S
20.     add u to S
21. End If
22. If u = destination Then
23.     End
24. End If
25. For every v Є V - S Do
26.     If con[u, v] ==  T Then
27.         d[v] <-  d[u] + w[u, v]
28.         p[v] <-  u
29.     ElseIf d[u] + w[u, v]<d[v] Then
30.         d[v] <-  d[u] + w[u, v]
31.         p[v] <-  u
32.     End If
33. End For
34. End For

Answer 1

根据您的实际实现和涉及的数据结构，此算法的时间复杂度可能很差。这就是为什么邻接列表对于Kruskal算法来说更合适的原因：您需要能够尽快识别两件事：

1. 找到下一分钟。重量边缘，
2. 检查边是否连接两个不同的树（或者两个顶点是否属于同一个组件）。

要实现O（N log N）复杂度，这意味着您需要：

1. 首先按重量对边缘进行排序。这将使您在寻找下一个最小权重边缘的步骤为O（1）操作，并且
2. 使用像union-find这样的结构来快速识别哪些顶点在哪些组件中。

作为参考，您可以检查this CodeProject article（C＃实现）。