如何使用行和列上的 1D 卷积来计算 2D 卷积？

Question

我正在寻找一种方法，通过在 Matlab 中使用

conv2

来计算

conv

给出的相同结果。 （我正在用 C 代码进行卷积，我需要比较 Matlab 和我的代码之间的结果）。

我听说只有当核

K

是可分离的（例如高斯核）时，才可以使用 1D 卷积向量乘法来获得与 2D 卷积矩阵乘法相同的结果。此外，通过这种方式，1D-way 比计算 2D-way 快得多。

这里我收集了一些Matlab代码

% Create data
A = randn(10, 10);

% Create gaussian kernel
sigma = 1;
kernel_size = round(6 * sigma);

% Create mesh grid
[x, y] = meshgrid(-kernel_size:kernel_size, -kernel_size:kernel_size);

% Create gaussian 2D kernel
K = 1/(2*pi*sigma^2)*exp(-(x.^2 + y.^2)/(2*sigma^2));

我想知道如果我只使用

conv2(A, K, 'same')

，我如何才能达到与

conv

相同的结果。我应该先对每一行执行

conv(A(i, :); K(i, :), 'same')

，然后对每列执行

conv(A(:, i); K(:, i), 'same')

吗？

Answer 1

如果 2-D 核

K

可分为行向量

kr

和列向量

kc

，使得

K = kc*kr

，则可以更有效地获得

conv2(A, K, 'same')

的结果，如

conv2(kr, kc, A, 'same')

（或等价）如

conv2(kc, kr, A, 'same')

）。

如果您只需要使用

conv

，则必须将

A

的每一行与

kr

进行卷积，然后将结果的每一列与

kc

进行卷积（或等效地以相反的顺序）。

所以，在你的例子中：

A = randn(10, 10);
sigma = 1;
kernel_size = round(6 * sigma);
[x, y] = meshgrid(-kernel_size:kernel_size, -kernel_size:kernel_size);
K = 1/(2*pi*sigma^2)*exp(-(x.^2 + y.^2)/(2*sigma^2));

result = conv2(A, K, 'same');

您可以获得相同的结果

x = -kernel_size:kernel_size;
y = x.';
kr = 1/sqrt(2*pi)/sigma * exp(-x.^2/(2*sigma^2));
kc = 1/sqrt(2*pi)/sigma * exp(-y.^2/(2*sigma^2));

result_sep = NaN(size(A));
for r = 1:size(A,1)
    result_sep(r,:) = conv(A(r,:), kr, 'same');
end
for c = 1:size(A,1)
    result_sep(:,c) = conv(result_sep(:,c), kc, 'same');
end

检查：

max(max(abs(result-result_sep)))

给出了

eps

量级的值，因此两个结果在浮点误差范围内是相同的。