计算Big O表示法：2个嵌套循环的O（n ^ 4）和没有递归的O（log n）

Question

我已经做了一些运行时复杂性近似练习已经有一段时间了，我一直试图围绕以下在线发现的例子（评论是我自己的）：

例1：

for ( int i = 1 ; i <= n ; i++) { //n
  for ( int j = 1; j <= i*i ; j++) { // 1+2^2+3^2+...+n^2
    if ( j % i == 0) {
      for ( int k = 0 ; k < j ; k++ ){ // 1+2^2+3^2+...+n^2
        sum++;
       }
      }
     }
    }

解决方案表说它是O（n ^ 4），但我看不到它。我确信我错过了一些东西，因为在我的评论中，我认为在最坏的情况下它是O（n ^ 5）。

例2：

i = 1 ;
L2 = -1;
while ( i <= n ) {
  i = i*2 ; // 2 + 2^2 + 2^3+ ...+ 2^n
  L2++;
}

提到的解决方案是O（log n）。我认为在最坏的情况下，我会得到2 ^ n <= n的线，因此n <= log n。这里应用上限函数的典型定义更直观（即f（n）<= O（g（x）））

我基本上想知道我错过了什么，以及我应该采取哪些步骤/指导方针来找到两种情况下正确的大O复杂度（特别是第一个例子）。对于任何不清楚的细节我道歉，我很乐意添加更多说明。在此先感谢，我感谢任何见解！

Answer 1

示例1是O(n^5)，因为big-O是上限。它也是Theta(n^4)因为if语句使得最里面的循环只运行每个i迭代，所以运行时间是Theta(n sum_{i=1}^n (i*i * 1/i * i*i)) = Theta(n^4)。

例2是O(log n)。在jth迭代中，i是2^j，而2^j > n的门槛是j > lg n。