使用odeint求解具有阶跃函数参数的ODE

Question

我正在尝试使用python中的odeint数字地解决以下系统：：

我的问题是k1取决于p的值。当p<=0.01 k1=0，否则为k1=5。

我不确定如何使用上述约束编写系统。我可以开始：

def sys(x,t,flip):
S,T,p = x

dx = [1-T-k1*T,
     0.1*(1-S)-k1*S,
     -0.2*(1-T-k1*T)+0.1*(1-S)-k1*S]
return dx

flip可以是0.01的值，但是我不确定这种情况下如何实现if语句，因为我需要集成过程来在每次迭代后检查p的值。

Answer 1

这里是使用solve_ivp的解决方案：

import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt

from scipy.integrate import solve_ivp

def ode(t, TS):
    T, S = TS

    p = -0.2*T + S
    k1 = 0 if p <= 0.01 else 5

    dTdt = 1 - T - k1*T
    dSdt = 0.1*(1 - S) - k1*S

    return dTdt, dSdt

# Solve
TS_start = (0.7, 0.4)
t_span = [0, 3]
sol = solve_ivp(ode, t_span, TS_start, method='RK45',
                rtol=1e-5)
print(sol.message)
print('nbr eval', sol.nfev)

# Graph
plt.plot(sol.t, sol.y[0, :], label='T')
plt.plot(sol.t, sol.y[1, :], label='S'); plt.legend();
plt.xlabel('time');

这似乎很难解决。其他经过测试的求解器无法收敛，并且事件的使用无济于事，因为它们在稳态解附近越来越频繁[]

编辑：的确将翻转值更改为-0.01而不是+0.01会导致极限循环解，对此events的solve_ivp方法起作用：

import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt

from scipy.integrate import solve_ivp

def ode(t, TS):
    T, S = TS

    p = -0.2*T + S
    k1 = 0 if sign_change(t, TS) <= 0 else 5

    dTdt = 1 - T - k1*T
    dSdt = 0.1*(1 - S) - k1*S

    return dTdt, dSdt

def sign_change(t, TS):
    T, S = TS
    p = -0.2*T + S
    flip = -0.01
    return p - flip

# Solve
TS_start = [0.3, 0.1]
t_span = [0, 5]
sol = solve_ivp(ode, t_span, TS_start,
                method='RK45', events=sign_change)
print(sol.message)
print('nbr eval', sol.nfev)

# Graph
plt.plot(sol.t, sol.y[0, :], '-x', label='T')
plt.plot(sol.t, sol.y[1, :], label='S'); plt.legend();
plt.xlabel('time');

for t in sol.t_events[0]:
    plt.axvline(x=t, color='gray', linewidth=1)
现在的解决方案是：

Answer 2

要在积分后重建k1和p的值，请将此计算放入附加函数中>>

def kp(T,S):
    p = -0.2*T + S
    k1lo, k1hi = 0, 5
    flip = -0.01
    k1 = 0.5*(k1lo+k1hi + (k1hi-k1lo)*np.tanh((p-flip)/1e-8))
    return k1,p

Answer 3

要在积分后重建k1和p的值，请将此计算放入附加函数中>>

def kp(T,S):
    p = -0.2*T + S
    k1lo, k1hi = 0, 5
    flip = -0.01
    k1 = 0.5*(k1lo+k1hi + (k1hi-k1lo)*np.tanh((p-flip)/1e-8))
    return k1,p