填充二维数组的间隙

Question

我有一个稀疏的数组，如下所示。是否有一种算法可以用线性有意义的值填充所有空白？ IE。从周围的原始值推导出来。

我研究过双线性插值和双三次插值，但还有其他插值吗？

     |    1    |    2   |    3    |    4    |    5    |    6    |    7
---------------------------------------------------------------------------------
1    | 
2    |
3    |             55
4    |             50                                     12         6
5    |             45                                                19
6    |             xxx 
7    |             35        45       50        yyy
8    |
9    |
10   |
11   |
12   |                       zzz
13   |
14   |
15   |

例如，我预计 xxx 会在 40 附近，yyy 会在 50 附近。但是 zzz 可能有一个更随机的值。但请注意：我想填充每个空格，而不仅仅是 xxx、yyy 和 zzz。并且能够对任何稀疏的数组执行此操作。

这样的算法存在吗？

Answer 1

存在一百万个这样的算法。所以首先你有一些已知值的字典，如下所示：

known_values = {
    (2, 3): 55.0,
    (2, 4): 50.0,
    (2, 5): 45.0,
    (2, 7): 35.0,
    (3, 7): 45.0,
    (4, 7): 50.0,
    (6, 4): 12.0,
    (7, 4): 6.0,
    (7, 5): 19.0,
}

最简单的方法是任意点的值是所有填充点的加权平均值。其权重为 1/距离的平方。所以在上面的例子中，你会有这样的代码：

def interpolate(known_values, p):
     total_weight = 0.0
     total_sum = 0.0
     for q, value in known_values:
         if p == q:
             return value
         d_square = (p[0] - q[0])**2 + (p[1] - q[1])**2
         total_weight = total_weight + 1.0 / d_square
         total_sum = total_sum + value / d_square
     return total_sum/total_weight

只要矩阵填充了任何数据，该解决方案就可以工作。

但是从您提出问题的方式来看，您可能需要一个在任何小区域中近似线性的平滑插值。一种方法是寻找

(a, b, c)

，使得函数

a*x + b*y + c

最小化误差平方的加权和，权重是从所需点到已知点的距离的 4 次方。 （前 2 次幂消除了面积的平方，另外两次幂附近的点权重更大。）

这里使用最小二乘法来计算误差的原因是数学计算起来很简单。当

a

、

b

或

c

的微小变化不会使值发生太大变化时，您将精确最小化，这意味着偏导数为 0。因此，这三个偏导数为您提供了 3 组线性方程。求解 3 个变量的 3 个方程相当容易。

然而，推导过程又长又乱。如果你想尝试一下，你应该看看通常的最小二乘推导，并尝试解决细节。然后尝试去实现它。但只有当您真的想尝试对远离数据的点进行线性投影时才可以尝试。

Answer 2

这个问题可以被视为“二元插值”问题，并且该领域有大量的研究。您可以在 Wiki 中搜索“多元插值”并在“二维”部分下查找算法。

在各种方法中，双线性/双三次插值需要数据形成网格，而您的数据则不是这样的。 Delaunay 三角测量方法不适合根据您的情况进行外推。反加权距离方法易于实现，适合外推，但结果往往不令人满意。我个人建议使用径向基函数，只要您没有太多数据点（例如数千个）。

Answer 3

GitHub上有一个解决方案，使用的是薄板样条方法：

https://github.com/davidqkelly/ThinPlateSpline_DotNet