如何检测由于浮点加法和乘法舍入而导致的精度损失？ [已关闭]

Question

从计算机系统：程序员的角度：

单精度浮点

• 表达式

  (3.14f+1e10f)-1e10f

  的计算结果为 0.0：值 3.14 由于舍入而丢失。

• 表达式

  (1e20f*1e20f)*1e-20f

  的计算结果为 +∞ ，而

  1e20f*(1e20f*1e-20f)

  的计算结果为

  1e20f

  。

• 如何检测由于浮点加法和乘法舍入而导致的精度损失？

• 下溢和我描述的问题有什么联系和区别？下溢是否只是由于舍入而导致精度损失的一种特殊情况，即结果舍入为零？

Answer 1

虽然在数学中，实数的加法和乘法是关联运算，但由于精度和范围扩展有限，这些运算在浮点类型上执行时是不是关联的，例如

float

。

所以顺序很重要。

考虑到这些示例，数字 10000000003.14 无法精确表示为 32 位

float

，因此

(3.14f + 1e10f)

的结果将是 equal 到

1e10f

，这是最接近的可表示数字。当然，

3.14f + (1e10f - 1e10f)

会喊出

3.14f

。

请注意，我使用了

f

后缀，因为在 C 中，表达式

(3.14+1e10)-1e10

涉及

double

文字，因此结果确实是

3.14

（或更可能是 3.14999）。

第二个例子中也发生了类似的情况，其中

1e20f * 1e20f

已经超出了

float

的范围（但不是

double

），并且连续的乘法没有意义，而

(1e20f * 1e-20f)

在另一个表达式中首先执行，有一个明确定义的结果 (1) 并且连续的乘法得出正确的答案。

在实践中，您可以采取一些预防措施

• 使用更宽的类型。

  double

  最适合大多数应用，除非有其他要求。
• 如果可能，重新排序操作。例如，如果您必须添加许多项，并且您知道其中一些项比其他项小，请开始添加这些项，然后添加其他项。避免相同数量级的数字相减。一般来说，可能有一种比朴素方法更准确的方法来计算代数表达式（例如用于多项式计算的霍纳方法）。
• 如果您对问题领域有一定的了解，您可能已经知道计算的哪一部分可能存在问题值，并在执行计算之前检查这些值是否大于（或小于）某些限制。
• 尽快查看结果。当你已经有一个无限值或 NaN 时，继续计算是没有意义的，或者当你的目标值根本没有修改时继续迭代是没有意义的。