scipy.sparse.linalg.eigsh中LM和换档反转模式之间的反常速度差？

Question

我正在尝试使用scipy.sparse.linalg.eigsh在Python中找到一个稀疏Hermitian矩阵列表的最小特征值（以最大的负数，而不是最低的幅度）。矩阵为〜1000x1000，列表长度为〜500-2000。另外，我知道所有矩阵的特征值的上限和下限-分别称为eig_UB和eig_LB。

我尝试了两种方法：

1. 使用移位反转模式和sigma = eig_LB。
从每个矩阵的对角线上
2. 减去eig_UB（从而将最小的特征值移位为最大的特征值），使用默认的eigsh设置对角化所得矩阵（无移位反转模式，并使用which ='LM'） ，然后将eig_UB添加到结果特征值。

这两种方法都行得通，而且它们的结果一致，但是方法1的速度快2-2.5倍。这似乎是违反直觉的，因为（至少据我所了解的eigsh文档），移位反转模式从对角线中减去sigma，反转矩阵，然后找到特征值，而默认模式直接找到最大幅度的特征值。有人知道什么可以解释性能差异吗？

另一条信息：我已经检查过了，由于移位求逆（即，如果M是原始矩阵，则（M-sigma * identity）^（-1））所产生的矩阵不再稀疏，似乎应该使找到它们的特征值所需的时间更长。

Answer 1

这可能已解决。正如https://arxiv.org/pdf/1504.06768.pdf中指出的那样，您实际上不需要反转移位的稀疏矩阵，然后以某种Lanczos类型的方法重复应用它-您只需要重复解决一个逆问题（M-sigma * identity）* v（n + 1）= v（n）以生成向量{v（n）}的序列。 LU分解后，对于一个稀疏矩阵，可以快速完成此反问题。