关于蒙特卡罗概率语法

Question

让20个人，包括正好3个女人，随机坐在4个桌子（表示为（A，B，C，D））中，每个人5人，所有安排都同样可能。设X是没有女人坐的桌子数。写一个numpy蒙特卡罗模拟来估计X的期望，并估计没有女性坐在桌子A的概率p。运行模拟3例（100,1000,10000）

我想定义一个函数，利用numpy的random.permutation函数来计算X的期望值给出一个可变数量的试验我理解如何在笔和纸上执行此操作，迭代我的概率集合并将它们相乘其他这样我可以计算事件的总概率。这就是我到目前为止所拥有的

T = 4       # number of tables
N = 20      # number of persons. Assumption: N is a multiple of T.
K = 5       # capacity per table
W = 3       # number of women. Assumption: first W of N persons are women.
M =100      #number of trials

collection = []

for i in range(K):


    x = (((N-W)-i)/(N-i))

    collection.append(x)

如果我检查我的收藏，这是我的输出：[0.85,0.8421052631578947,0.8333333333333334,0.8235294117647058,0.8125]

Answer 1

履行

这是您的Monte-Carlo模拟的天真实现。它不是设计为高性能，而是允许您交叉检查设置并查看详细信息：

import collections
import numpy as np

def runMonteCarlo(nw=3, nh=20, nt=4, N=20):
    """
    Run Monte Carlo Simulation
    """

    def countWomen(c, nt=4):
        """
        Count Number of Women per Table
        """
        x = np.array(c).reshape(nt, -1).T  # Split permutation into tables
        return np.sum(x, axis=0)           # Sum woman per table

    # Initialization:
    comp = np.array([1]*nw + [0]*(nh-nw)) # Composition: 1=woman, 0=man
    x = []                                # Counts of tables without any woman
    p = 0                                 # Probability of there is no woman at table A  

    for k in range(N):
        c = np.random.permutation(comp)   # Random permutation, table composition
        w = countWomen(c, nt=nt)          # Count Woman per table
        nc = np.sum(w!=0)                 # Count how many tables with women 
        x.append(nt - nc)                 # Store count of tables without any woman
        p += int(w[0]==0)                 # Is table A empty?
        #if k % 100 == 0:
            #print(c, w, nc, nt-nc, p)

    # Rationalize (count->frequency)
    r = collections.Counter(x)
    r = {k:r.get(k, 0)/N for k in range(nt+1)}
    p /= N
    return r, p

执行工作：

for n in [100, 1000, 10000]:
    s = runMonteCarlo(N=n)
    E = sum([k*v for k,v in s[0].items()])
    print('N=%d, P(X=k) = %s, p=%s, E[X]=%s' % (n, *s, E))

返回：

N=100, P(X=k) = {0: 0.0, 1: 0.43, 2: 0.54, 3: 0.03, 4: 0.0}, p=0.38, E[X]=1.6
N=1000, P(X=k) = {0: 0.0, 1: 0.428, 2: 0.543, 3: 0.029, 4: 0.0}, p=0.376, E[X]=1.601
N=10000, P(X=k) = {0: 0.0, 1: 0.442, 2: 0.5235, 3: 0.0345, 4: 0.0}, p=0.4011, E[X]=1.5924999999999998

绘制分布图，它会导致：

import pandas as pd
axe = pd.DataFrame.from_dict(s[0], orient='index').plot(kind='bar')
axe.set_title("Monte Carlo Simulation")
axe.set_xlabel('Random Variable, $X$')
axe.set_ylabel('Frequency, $F(X=k)$')
axe.grid()

与替代版本的分歧

注意：此方法无法解决所述问题！

如果我们实现另一个版本的模拟，我们改变随机实验的执行方式如下：

import random
import collections

def runMonteCarlo2(nw=3, nh=20, nt=4, N=20):
    """
    Run Monte Carlo Simulation
    """

    def one_experiment(nt, nw):
        """
        Table setup (suggested by @Inon Peled)
        """
        return set(random.randint(0, nt-1) for _ in range(nw)) # Sample nw times from 0 <= k <= nt-1

    c = collections.Counter()             # Empty Table counter
    p = 0                                 # Probability of there is no woman at table A  

    for k in range(N):
        exp = one_experiment(nt, nw)      # Select table with at least one woman
        c.update([nt - len(exp)])         # Update Counter X distribution
        p += int(0 not in exp)            # There is no woman at table A (table 0)

    # Rationalize:
    r = {k:c.get(k, 0)/N for k in range(nt+1)}
    p /= N

    return r, p

它返回：

N=100, P(X=k) = {0: 0.0, 1: 0.41, 2: 0.51, 3: 0.08, 4: 0.0}, p=0.4, E[X]=1.67
N=1000, P(X=k) = {0: 0.0, 1: 0.366, 2: 0.577, 3: 0.057, 4: 0.0}, p=0.426, E[X]=1.691
N=1000000, P(X=k) = {0: 0.0, 1: 0.37462, 2: 0.562787, 3: 0.062593, 4: 0.0}, p=0.42231, E[X]=1.687973

第二个版本收敛于另一个值，它显然不等同于第一个版本，它没有回答相同的问题。

讨论

为了区分哪个实现是正确的，我有两个实现的computed sampled spaces and probabilities。似乎第一个版本是正确的，因为它考虑到女性坐在桌子上的概率取决于之前被选中的人。第二个版本没有考虑到这一点，这就是为什么它不需要知道有多少人以及每桌可以容纳多少人。

这是一个很好的问题，因为两个答案都提供了接近的结果。这项工作的一个重要部分是很好地设置蒙特卡洛输入。

Answer 2

您可以使用Python 3.x中的functools.reduce将集合中的项目相乘。

from functools import reduce
event_probability = reduce(lambda x, y: x*y, collection)

所以在你的代码中：

from functools import reduce

T = 4       # number of tables
N = 20      # number of persons. Assumption: N is a multiple of T.
K = 5       # capacity per table
W = 3       # number of women. Assumption: first W of N persons are women.
M = 100      #number of trials

collection = []

for i in range(K):
    x = (((N-W)-i)/(N-i))
    collection.append(x)

event_probability = reduce(lambda x, y: x*y, collection)

print(collection)
print(event_probability)

输出：

[0.85, 0.8421052631578947, 0.8333333333333334, 0.8235294117647058, 0.8125] # collection
0.3991228070175438 # event_probability

然后，您可以使用结果来完成代码。

Answer 3

你必须明确地模拟坐姿吗？如果没有，那么简单地随机抽取3次，从1..4替换以模拟一次坐，即：

def one_experiment():
    return set(random.randint(1, 4) for _ in range(3))  # Distinct tables with women.

然后如下获得所需值，其中N是任何情况下的实验数。

expectation_of_X = sum(4 - len(one_experiment()) for _ in range(N)) / float(N)
probability_no_women_table_1 = sum(1 not in one_experiment() for _ in range(N)) / float(N)

对于大N，您得到的值应约为p =（3/4）^ 3且E [X] =（3 ^ 3）/（4 ^ 2）。