预测提取的Coq代码到Haskell的运行时间

Question

我在Coq中编写（并证明）了以下版本的isPrime。

• 30在我的机器上完成需要大约Compute (isPrime 330)秒。
• 提取的Haskell代码以1为秒，以验证9767是素数。

根据this post的评论，时间差异毫无意义，但我想知道为什么会这样？还有其他方法可以在提取Coq代码时预测性能吗？毕竟，有时性能确实很重要，一旦你努力证明它是正确的，很难改变Coq源。这是我的Coq代码：

(***********)
(* IMPORTS *)
(***********)
Require Import Coq.Arith.PeanoNat.

(************)
(* helper'' *)
(************)
Fixpoint helper' (p m n : nat) : bool :=
  match m with
  | 0 => false
  | 1 => false
  | S m' => (orb ((mult m n) =? p) (helper' p m' n))
  end.

(**********)
(* helper *)
(**********)
Fixpoint helper (p m : nat) : bool :=
  match m with
  | 0 => false
  | S m' => (orb ((mult m m) =? p) (orb (helper' p m' m) (helper p m')))
  end.

(***********)
(* isPrime *)
(***********)
Fixpoint isPrime (p : nat) : bool :=
  match p with
  | 0 => false
  | 1 => false
  | S p' => (negb (helper p p'))
  end.

(***********************)
(* Compute isPrime 330 *)
(***********************)
Compute (isPrime 330).

(********************************)
(* Extraction Language: Haskell *)
(********************************)
Extraction Language Haskell.

(***************************)
(* Use Haskell basic types *)
(***************************)
Require Import ExtrHaskellBasic.

(****************************************)
(* Use Haskell support for Nat handling *)
(****************************************)
Require Import ExtrHaskellNatNum.
Extract Inductive Datatypes.nat => "Prelude.Integer" ["0" "succ"]
"(\fO fS n -> if n Prelude.== 0 then fO () else fS (n Prelude.- 1))".

(***************************)
(* Extract to Haskell file *)
(***************************)
Extraction "/home/oren/GIT/CoqIt/FOLDER_2_PRESENTATION/FOLDER_2_EXAMPLES/EXAMPLE_03_PrintPrimes_Performance_Haskell.hs" isPrime.

Answer 1

您的Coq代码使用自然的Peano编码。 mult 2 2的评估字面意思是减少：

mult (S (S 0)) (S (S 0)))
= (S (S 0)) + mult (S 0) (S (S 0)))
= (S (S 0)) + ((S (S 0)) + mult 0 (S (S 0)))
= (S (S 0)) + ((S (S 0)) + 0)
= (S (S 0)) + ((S 0) + (S 0))
= (S (S 0)) + (0 + (S (S 0))
= (S (S 0)) + (S (S 0))
= (S 0) + (S (S (S 0)))
= 0 + (S (S (S (S 0)))
= (S (S (S (S 0))))

然后检查平等mult 2 2 =? 5进一步减少：

(S (S (S (S 0)))) =? (S (S (S (S (S 0)))))
(S (S (S 0))) =? (S (S (S (S 0))))
(S (S 0)) =? (S (S (S 0)))
(S 0) =? (S (S 0))
0 =? (S 0)
false

同时，在Haskell方面，对2 * 2 == 5的评估是通过将两个Integers相乘并将它们与另一个Integer进行比较来进行的。这有点快。 ;）

令人难以置信的是，Coq对isPrime 330的评估只需要30秒而不是30年。

我不知道如何预测提取代码的速度，除了说Peano数字的原始操作将大规模加速，而其他代码可能会适度更快，仅仅是因为GHC已经做了很多工作生成快速代码，性能并未成为Coq开发的重点。