两个应用程序/单子程序都保持单曲面结构但以稍微不同的方式具有什么实际含义？

Question

我已经读过Q&A，但不理解类别理论的一部分。

到目前为止，这是我的推理：当我查看类型时

F (a -> b) -> F a -> F b
(a -> M b) -> M a -> M b

a -> F a
a -> M a

在类型级别上唯一类似于一个monoid的部分是类型构造函数，即应用/单调上下文：

// binary operation
F -> F -> F
M -> M -> M

// identity element
F
M

因此，我认为应用程序/单子在上下文方面是单调的，因为它们将相同类型的两个上下文组合为一个。pure/ return创建了一个最小的上下文，因此我们可以将其视为与一个monoid的标识元素相似的身份上下文，从而创建一个“最大的最小值”。

但是，单子/应用程序的类型参数不是单项式的，因为它们包括从a到b的转换。

我不确定我的推理是否有意义。让我感到困惑的是，一方面的类人独具一格的东西，另一方面，应用性/单子独一的结合方式则不同：

Nothing <> (Just "bar") -- Just "bar"
(++) <$> Nothing <*> (Just "bar") -- Nothing
Nothing >>= (\x -> (Just "bar") >>= (return . (++) x)) -- Nothing

但是，我猜想不同的结果值是由于等分体将表达式解释为普通值，而应用程序/ monads将表达式解释为计算（在上面的示例中可能会失败）。

[在前面的问答中，现在指出单子在内爆函子的类别中是单半体的，而施用物是松散的单半子函子。我不完全理解，但显然应用程序仅部分保留了单面体结构，而单子结构则完全保留了它。从功能程序员的角度来看，这种差异的实际含义是什么？

我问这个问题是为了更好地理解应用性/单语，以及引起不同表达的原因。

Answer 1

我们应该整理一下，我们在这里处理三个截然不同的半身像：

• Haskell中的Monoid，即Monoid类的实例。这些是value-level monoids，即您将Haskell值（例如列表）组合在一起。

• 从数学上讲，应用程序是monoidal functors，但对于等腰线而言，您无法编写Monoid实例；在Haskell上下文中，它是由单元类型()和元组构造函数(,)构造的type-level monoid。 （请注意，如果您假装(Int, (String, Bool))和((Int, String), Bool)是相同的类型，则这只是一个monoid。）这些元组在Applicative类的方法中不是直接可见的，但这仅仅是因为它们已被隐藏通过咖喱。该类的更笼统的表述是

  class Functor f => Monoidal f where
    funit ::    ()     -> f  ()
    fzip :: (f a, f b) -> f (a,b)
  

  证明这等效于标准Applicative类是一个很好的练习。 Monoidal函子的特征实际上在于它在执行其函子映射时保留了此(,) monoid结构，但实际上与任何特定的Haskell monoid并没有多大关系。

• Monad，作为一个半幽默的嗡嗡声不停地飘浮，是monofoids in endofunctors。但是，这是我们正在讨论的另一个monoid，即函子应用程序堆栈的monoid。与Applicative一样，该类的数学公式也有所不同：

  class Monoidal m => Monad m where
    pure ::      a  -> m a
    join :: m (m a) -> m a

  即这里的类人动物是m应用的一种
  composition

  。因此，在将涉及monads / applicatives的对象与某些特定Haskell monoid进行比较时，您会得到不同的行为，这真的不足为奇。在某些情况下，两者的行为相同，但基本上可以归结为使用了一个实例，该实例将更高级的单曲面结构退化为某种东西，当与固定的包含类型一起使用时，该东西同构为非参数Monoid实例。