求导数的算法

Question

我正在用Python编写程序，我需要找到一个函数的导数（以字符串表示的函数）。

• 例如：

  x^2+3*x

• 它的导数是：

  2*x+3

有可用的脚本吗，或者有什么有用的可以告诉我吗？

Answer 1

如果您仅限于多项式（似乎是这种情况），则基本上分为三个步骤：

1. 将输入字符串解析为 x^n 的系数列表
2. 获取该系数列表，并根据导出多项式的规则将其转换为新的系数列表。
3. 获取导数的系数列表并创建一个描述导数多项式函数的漂亮字符串。

如果您需要处理像

a*x^15125 + x^2 + c

这样的多项式，则使用

dict

作为系数列表可能有意义，但在通过此列表进行迭代时需要多加注意。

Answer 2

您可能会在已经提供的答案中找到您想要的内容。然而，我想对如何计算符号导数给出一个简短的解释。

该业务基于算子重载和衍生品的链式法则。例如，

v^n

的导数是

n*v^(n-1)dv/dx

，对吗？那么，如果你有

v=3*x

和

n=3

，导数会是什么？答案：如果

f(x)=(3*x)^3

，则导数为：

f'(x)=3*(3*x)^2*(d/dx(3*x))=3*(3*x)^2*(3)=3^4*x^2

链式法则允许您“链接”操作：每个单独的导数都很简单，而您只需“链接”复杂性。再比如，

u*v

的导数是

v*du/dx+u*dv/dx

，对吧？如果你得到一个复杂的函数，你只需将它链接起来，说：

d/dx(x^3*sin(x))
u=x^3; v=sin(x)
du/dx=3*x^2; dv/dx=cos(x)
d/dx=v*du+u*dv

如您所见，微分只是一系列简单的操作。

现在，运算符重载。

如果您可以编写一个解析器（尝试 Pyparsing），那么您可以要求它评估函数和导数！我这样做（使用 Flex/Bison）只是为了好玩，而且它非常强大。为了让您明白这个想法，导数是通过重载相应的运算符并递归地应用链式法则来递归计算的，因此

"*"

的计算将对应于函数值的 u*v 和导数值的

u*der(v)+v*der(u)

（尝试用C++写的，也很有趣）。

所以，我知道您并不是要编写自己的解析器 - 无论如何都要使用现有代码（访问 www.autodiff.org 以自动区分 Fortran 和 C/C++ 代码）。但了解这些东西是如何工作的总是很有趣。

Answer 3

迟到总比不到好？

我总是通过使用解析树来完成任何语言的符号微分。 但我最近也意识到另一种使用复数的方法。

解析树方法包括将以下微小的 Lisp 代码翻译成您喜欢的任何语言：

(defun diff (s x)(cond
  ((eq s x) 1)
  ((atom s) 0)
  ((or (eq (car s) '+)(eq (car s) '-))(list (car s)
    (diff (cadr s) x)
    (diff (caddr s) x)
    ))
  ; ... and so on for multiplication, division, and basic functions
  ))

然后使用适当的简化器，这样你就可以去掉 0 加法、乘以 1 等。

但是复杂的方法虽然完全是数字的，但具有一定的神奇品质。不要以双精度对计算 F 进行编程，而以双精度复数进行。 然后，如果需要计算变量 X 的导数，请将 X 的虚部设置为非常小的数字 h，例如 1e-100。 然后进行计算，得到结果R。 现在 real(R) 是您通常会得到的结果，而 imag(R)/h = dF/dX 精度非常高！

它是如何运作的？以复数相乘为例：

(a+bi)(c+di) = ac + i(ad+bc) - bd

现在假设虚部全部为零，但我们需要相对于

a

的导数。 我们将

b

设置为一个非常小的数字

h

。现在我们得到了什么？

(a+hi)(c) = ac + hci

因此，如您所料，其实部为

ac

，虚部除以

h

为

c

，它是

ac

相对于

a

的导数。

同样的推理似乎适用于所有微分规则。

Answer 4

您可以尝试创建一个严格表示极限的类，然后当 x 接近 a 时评估它的 (f(x)-f(a))/(x-a)。这应该给出一个非常准确的极限值。

Answer 5

如果您使用字符串作为输入，则可以使用 + 或 - 字符作为分隔符来分隔各个术语，这将为您提供各个术语。现在您可以使用幂法则来求解每个项，假设您有 x^3，使用幂法则将为您提供 3x^2，或者假设您有一个更复杂的项，例如 a/(x^3) 或 a(x^ -3)，同样，您可以将其他变量选为常量，现在求解 x^-3 将得到 -3a/(x^2)。单独的幂法则就足够了，但是它需要广泛使用因式分解。

Answer 6

除非任何已经制作的库派生它非常复杂，因为您需要解析和处理函数和表达式。

自行推导它是一项简单的任务，因为它是机械的并且可以通过算法完成，但您需要一个基本结构来存储函数。