从2个矢量坐标

Question

所有，

假设我有两个矢量U和V，分别为2个单位和1个单位长度，如草图所示。矢量U旋转角度θ。

至少有两种可能的情况，即矢量U可以“向上”或“向下”，如草图所示。

我的问题是，拥有上述数据集是否可以有一个通用的公式，可以转移到Matlab中获得点M的坐标？

矢量U和V的长度以及角度θ是任意的。

谢谢！

Answer 1

从Pythogoras我们知道

M = sqrt（U ^ 2 + V ^ 2）

M和U之间的角度是

alpha = arctan（V / U）

那么你就知道M的x坐标和y坐标是：

“up”案例：

M =（sqrt（U ^ 2 + V ^ 2）* cos（theta + sign（costa（theta））* arctan（V / U）），sqrt（U ^ 2 + V ^ 2）* sin（theta + sign） （cos（theta））* arctan（V / U））

“失败”的情况：

M =（sqrt（U ^ 2 + V ^ 2）* leg（theta - sign（costa（theta））* arctan（V / U）），sqrt（U ^ 2 + V ^ 2）* sin（theta - sign） （cos（theta））* arctan（V / U））

---

计算这个的第二种方法是在x和y方向上添加U和V的长度，并将它们相加。

U的坐标是：

（Ucos（theta），Usin（theta））

对于这个坐标，我们必须加上/减去V的x和y坐标。沿x和y的V长度是：

（abs（sin（theta）），abs（cos（theta））

是否应该从U中添加或减去这些取决于theta。一般来说，我们可以将Up和Down写为

Vup =（V * sign（-cos（theta））sin（theta），Vsign（cos（theta））* cos（theta））

Vdown =（V * sign（cos（theta））sin（theta），Vsign（-cos（theta））* cos（theta））

那么我们总是可以将UP添加到Up和Down。最后

Mup = U + Vup

Mdown = U + Vdown

Answer 2

有一个更有效的解决方案。

U端点的坐标由下式给出：

(U * cos(theta), U * sin(theta))

对于任何矢量(x, y)，顺时针垂直方向（即第二个图“向下”）是(y, -x)，而逆时针方向的那些是负的。因此M的坐标由下式给出：

• 逆时针（“向上”）：(U * cos(theta) - M * sin(theta), U * sin(theta) + M * cos(theta))
• 顺时针（“向下”）：(U * cos(theta) + M * sin(theta), U * sin(theta) - M * cos(theta))

无需拨打arctan或sqrt这些都非常昂贵。您也可以只计算一次sin/cos并将结果用于两个组件。

Answer 3

只是另一个紧凑的解

theta = 30;
L = 2;   % norm of U vector

U = L*[cosd(theta) ; sind(theta)];
Vup   = [-U(2) ;  U(1)] / L;  % Normal vectors, unit length
Vdown = [U(2)  ; -U(1)] / L;

Mup   = U + Vup;     % Two possible values of M
Mdown = U + Vdown;

% Bonus plot
figure
plot([0 U(1)] , [0 U(2)] , 'k-')
hold on; axis equal;
plot([0 Vup(1)]+U(1)   , [0 Vup(2)]+U(2) , 'r-')
plot([0 Vdown(1)]+U(1) , [0 Vdown(2)]+U(2) , 'r-')
text(Mup(1),Mup(2),'M_u_p')
text(Mdown(1),Mdown(2),'M_d_o_w_n')

Answer 4

您可以利用Uinit和Urot的叉积的属性。产品的标志将告知您生成的矢量的方向。

假设原点是O(0,0)，你的初始向量是Uinit(x1,y1)，你的最终向量是Urot(x2,y2)。 M(x,y)也很容易计算。

如果你想过滤旋转的矢量Urot，它最终在'上方'或'下方'M与你的三角形的前一个方向相比，你可以采用以下交叉产品：M cross Uinit和M cross Urot。如果它们的符号相同，那么得到的旋转矢量不会越过线OM，如果符号不同则相反。