我有floor(sqrt(floor(x)))。这是真的：
floor是多余的。floor是多余的。显然，外层不是多余的，因为例如，sqrt(2)不是整数，因此floor(sqrt(2))≠sqrt(2)。
也很容易看到sqrt(floor(x))≠sqrt(x)为非整数x。由于sqrt是单调函数。
我们需要找出所有有理数（或实数）的floor(sqrt(floor(x)))==floor(sqrt(x))。
让我们证明，如果sqrt(n)<m然后sqrt(n+1)<m+1，为整数m,n。很容易看出来
n<m^2 ⇒ n+1 < m^2+1 < m^2+2m+1 = (m+1)^2
因此，由于sqrt是单调的，我们有这个
sqrt(n) < m -> sqrt(n+1) < m+1 -> sqrt(n+eps)<m+1 for 0<=eps<1
因此floor(sqrt(n))=floor(sqrt(n+eps))适用于所有0<eps<1和整数n。假设另外floor(sqrt(n))=m和floor(sqrt(n+eps))=m+1，你有一个案例，sqrt(n)<m+1然而sqrt(n+eps)>=m+1。
因此，假设需要外部floor，内部floor是多余的。
换句话说，总是如此
floor(sqrt(n)) == floor(sqrt(floor(n)))
内部ceil怎么样？
很容易看到floor(sqrt(n)) ≠ floor(sqrt(ceil(n)))。例如
floor(sqrt(0.001))=0, while floor(sqrt(1))=1
但是你可以用类似的方式证明
ceil(sqrt(n)) == ceil(sqrt(ceil(n)))
内在的是多余的，外面的当然不是。
外部不是冗余的，因为如果x是平方数，则数字x的平方根仅产生整数。
内部是冗余的，因为区间[x，x + 1 [（其中x是整数）中任何数字的平方根总是位于区间[floor（sqrt（x）），ceil（sqrt（x））内）[因此，如果您只对结果的整数部分感兴趣，则在取平方根之前不需要对数字进行置位。
直觉上我认为内在的是多余的，但我无法证明。
除非你能提供证明我错误的x值，否则你不能投票给我。 8-）
编辑：请参阅v3对此答案的评论以获得证明 - 谢谢，v3！
内层是多余的
内层是多余的。矛盾的证明：
假设内层不是多余的。那意味着：
floor(sqrt(x)) != floor(sqrt(x+d))
对于某些x和d，其中floor（x）= floor（x + d）。然后我们要考虑三个数字：a = sqrt（x），b = floor（sqrt（x + d）），c = sqrt（x + d）。 b是整数，a <b <c。这意味着a ^ 2 <b ^ 2 <c ^ 2，或x <b ^ 2 <x + d。但如果b是整数，则b ^ 2是整数。因此floor（x）<b ^ 2，并且b ^ 2 <= floor（x + d），然后floor（x）<floor（x + d）。但我们首先假设floor（x）= floor（x + d）。我们已经达成了矛盾，所以我们的假设是错误的，内层是多余的。
如果x是整数，则内层是冗余的。
如果x不是整数，则两者都不是冗余的。
外层不是多余的。反例：x = 2。
楼层（sqrt（楼层（2）））=楼层（sqrt（2））=楼层（1.41 ...）
没有外层，结果将是1.41 ......
如果内层不是多余的，那么我们会期望楼层（sqrt（n））！= floor（sqrt（m）），其中m = floor（n）
注意n - 1 <m <= n。 m总是小于或等于n
floor（sqrt（n））！= floor（sqrt（m））要求sqrt（n）和sqrt（m）的值相差至少1.0
但是，没有值sq，其中sqrt（n）与sqrt（n + 1）相差至少1.0，因为对于0和1之间的所有值，该值的sqrt根据定义<1。
因此，对于所有值n，楼层（sqrt（n））== floor（sqrt（n + 1））。这与最初的假设相矛盾。
因此内层是多余的。
如果n^2 <= x < (n+1)^2在哪里n是一个整数，那么
n <= sqrt(x) < n+1，所以floor(sqrt(x)) = n;n^2 <= floor(x) < (n+1)^2，所以n <= sqrt(floor(x)) < n+1，所以floor(sqrt(floor(x))) = n。因此，暗示内层的floor(sqrt(floor(x))) = floor(sqrt(x))是多余的。