这个类似棱镜的光学器件叫什么名字，它有什么用处吗？

Question

我目前正在学习 Haskell lens 包的教程，因此我可以更好地理解底层的数学基础。我正在经历

Prism

s。

type Prism s t a b = forall p f. (Applicative f, Choice p) => p a (f b) -> p s (f t)

我们发现棱镜实际上是

b -> t

和

s -> Either t a

。我们可以直接展示这种同构。

-- Note: Stripping out the APrism / AReview type synonyms used
-- in Control.Lens for simplicity.

prism :: (b -> t) -> (s -> Either t a) -> Prism s t a b
prism bt seta = dimap seta (either pure (fmap bt)) . right'

matching :: Prism s t a b -> s -> Either t a
matching aprism s = let Market _ f = aprism (Market Identity Right) in
                    left runIdentity $ f s

review :: Prism s t a b -> b -> t
review areview = runIdentity . unTagged . areview . Tagged . Identity

（注：

Tagged

和

Market

的来源）

此时，我想到“嘿，

Choice

有点只是

Strong

，但在

Either

而不是

(,)

”。所以我想知道如果用

Choice

替换

Strong

会得到什么样的棱镜状的东西。我期待写

type ProductPrism s t a b = forall p f. (Applicative f, Strong p) => p a (f b) -> p s (f t)

并发现

ProductPrism s t a b

与

(b -> t, s -> (t, a))

同构。但当我去写这些同构时，我发现了两件事：

1. b -> t

   部分实际上与这里无关（构建

   ProductPrism

   不需要它）
2. 我们不需要

   pure

   ，所以我们可以用

   Apply

   。

所以我就这样结束了。

type ProductPrism s t a b = forall p f. (Apply f, Strong p) => p a (f b) -> p s (f t)

-- Construct ProductPrism from (s -> (t, a))
productPrism :: (s -> (t, a)) -> ProductPrism s t a b
productPrism sta = dimap sta (\(t, fb) -> t <$ fb) . second'

-- Consume ProductPrism into (s -> (t, a))
split :: ProductPrism (Semi.First a) s t a -> s -> (t, a)
split pprism s = go $ pprism (\a -> (Semi.First a, a)) s
    where go (Semi.First a, t) = (t, a)

其中

Semi.First

是半群

First

（不是幺半群版本）。

所以

ProductPrism s t a b

，正如我所定义的，只是

s -> (t, a)

和一个滑稽地未使用的

b

参数。

我的问题是：这种类型有用吗？此函数参考是否有一个众所周知的名称，例如

Lens

或

Prism

或

Traversal

？它是否像许多其他光学器件一样为我们提供了任何有用的抽象？

Answer 1

我认为您在

c

中选择了错误的

Strong

参数。不应该是

c ~ t

；应该是

c ~ s

。所以，我读到您正在寻找以下内容：

type PPrism s t a b = forall p f. (Functor f, Strong p) => p a (f b) -> p s (f t)

pprism :: (s -> a) -> (b -> s -> t) -> PPrism s t a b
pprism sa bst = dimap (\s -> (s, sa s)) (\(s, fb) -> flip bst s <$> fb) . second'

unprism :: PPrism s t a b -> ((s -> a), (b -> s -> t))
unprism pp = (sa, bst)
  where sa = getConst . pp (Const . id)
        bst b = runIdentity . pp (const (Identity b))

简而言之，这实际上只是一个镜头。 （或者，如果您选择

Applicative f

，则进行遍历。）

这有道理，对吧？ A

Prism

是基于具有

Choice

的函子的和类型的光学推广。

Lens

是基于带有

Strong

的函子的产品类型的光学概括，尽管我们通常只是用

p ~ (->)

来定义它。