我试图用交互式证明助手证明以下声明:
total
concatAssoc : (x : List a) -> (y : List a) -> (z : List a) -> (x ++ y) ++ z = x ++ (y ++ z)
concatAssoc = ?h
我理解如果没有阐述者的反思它是如何被证明的:
concatAssoc [] _ _ = Refl
concatAssoc (_ :: x) y z = cong $ concatAssoc x y z
但是,我只是好奇为什么我在REPL中以交互方式证明这个语句有问题。这是我做的:
:elab h
x <- gensym "x"
_base <- gensym "_base"
intro'
intro x
repeatUntilFail intro'
induction (Var x)
search
compute
attack
intro'
intro'
intro _base
rewriteWith (Var _base)
reflexivity
solve
:qed
这是我得到的:
...
-Main.h> solve
h: No more goals.
-Main.h> :qed
Proof completed!
Main.h = %runElab (do x <- gensym "x"
_base <- gensym "_base"
intro'
intro x
repeatUntilFail intro'
induction (Var x)
search
compute
attack
intro'
intro'
intro _base
rewriteWith (Var _base)
reflexivity
solve)
之后我用这个证据替换了函数体:
import Pruviloj.Core
import Pruviloj.Induction
import Language.Reflection.Elab
total
concatAssoc : (x : List a) -> (y : List a) -> (z : List a) -> (x ++ y) ++ z = x ++ (y ++ z)
concatAssoc = %runElab (do x <- gensym "x"
_base <- gensym "_base"
intro'
intro x
repeatUntilFail intro'
induction (Var x)
search
compute
attack
intro'
intro'
intro _base
rewriteWith (Var _base)
reflexivity
solve)
但是,当我尝试编译它时,我得到以下错误:
>idris 1.idr -p contrib -p pruviloj -X ElabReflection
Type checking .\1.idr
1.idr:9:16-23:34:
|
9 | concatAssoc = %runElab (do x <- gensym "x"
| ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ...
When checking right hand side of concatAssoc with expected type
(x : List a) -> (y : List a) -> (z : List a) -> (x ++ y) ++ z = x ++ y ++ z
Can't find a value of type
(x ++ []) ++ z = x ++ z
Holes: Main.concatAssoc
所以我的问题是为什么相同的证明在REPL中起作用,但如果写在文件中则失败?
REPL在:elab
模式中处理implicits的方式似乎存在问题。
Idris> :l ElabDoesNotWork.idr
Holes: Main.h
*ElabDoesNotWork> :elab h
---------- Goal: ----------
{hole_0} : (a : Type) -> (x : List a) -> (y : List a) -> (z : List a) -> (x ++ y) ++ z = x ++ y ++ z
-Main.h>
这里REPL要求我们在intro
上做(a : Type)
,但是在编译模块时,类型变量是隐式的,我们不必介绍它。
这里的解决方法是删除有问题的intro
:
import Pruviloj.Core
import Pruviloj.Induction
concatAssoc : (xs, ys, zs : List a) -> (xs ++ ys) ++ zs = xs ++ (ys ++ zs)
concatAssoc = %runElab (do intro `{{xs}}
intro `{{ys}}
intro `{{zs}}
induction (Var `{{xs}})
compute
reflexivity
compute
attack
intro `{{x}}
intro `{{xs'}}
intro `{{IH}}
rewriteWith (Var `{{IH}})
reflexivity
solve)