为什么Dijkstra算法中的decreasekey需要O(logN)时间？

Question

对于更新部分，

for all neighbors w of u:
    if dist[w] > dist[u] + l(u,w)
        dist[w] = dist[u] + l(u,w)
        prev[w] = u
        decreasekey(H,w)

这里，w是节点的ID，我认为应该像pair(ID,key)，其中key是dist[ID]。 如果是这样，在优先级队列中查找 ID 为 w 的节点应该花费 O(N) 时间，而不是 O(logN) 时间。 那么，为什么Dijkstra算法中的decreasekey需要O(logN)时间呢？

Answer 1

Dijktra 使用的堆实现与传统的优先级队列实现不同，因此内置的优先级队列库对您没有帮助。唯一的解决方案是实现堆并跟踪数组中堆中每个顶点的位置。当您向堆中插入或删除时，需要更新指向顶点的指针。当您必须在堆中执行decreaseKey 操作时，您将获得堆中顶点的直接位置，并且可以更新该位置处的 Key 值。使用 Heapify 对堆重新排序（需要 O(log n)）。

Answer 2

您说优先级队列中的减少键需要

O(N)

时间是正确的。因此，要使算法在

O(nlogn)

时间内运行，您有以下两个选项之一：

1. 实现一个优先级队列，您将在其中存储节点的位置。这种类型的优先级队列支持在

   O(log n)

   时间内删除节点。你可以在here找到一个实现（用java）。以及使用这个 IndexMinPriorityQueue 的 dijkstra 算法代码here.

2. 将新值插入优先级队列而不是decreaseKey操作。然而，最坏情况下的空间使用量将增加到

   O(M)

   ，而之前是

   O(N)

   ，其中 M 是边数。您可以验证该算法是否也有效。事实上，这是大多数应用程序中选择的方法，其中图中的边数很少并且可以容纳在内存中。

   for(all neighbors w of u){
       if (dist[w] > dist[u] + l(u,w)) {
           dist[w] = dist[u] + l(u,w);
           prev[w] = u;
           insert(H,w);
       }
   }
   

Answer 3

在堆中，decreaseKey 始终需要 O(logN)。 证明