当每个窗口的点数均匀时，为什么matplotlib.mlab.psd和scipy.signal.welch的功率谱密度估计值会有所不同？

Question

matplotlib.mlab.psd(...)和scipy.signal.welch(...)都实施了Welch的平均周期图方法来估计信号的功率谱密度（PSD）。假设将等效参数传递给每个函数，则返回的PSD应该是等效的。

然而，使用简单的正弦测试函数，当每个窗口使用的点数（nperseg的scipy.signal.welch关键字; NFFT的mlab.psd关键字）是偶数时，两种方法之间存在系统差异，如下所示64点的情况每个窗口

顶部图显示通过两种方法计算的PSD，而底部图显示它们的相对误差（即两个PSD的绝对差除以它们的绝对平均值）。较大的相对误差表明两种方法之间存在较大的不一致。

当每个窗口使用的点数为奇数时，这两个函数具有更好的一致性，如下所示，对于相同的信号，但每个窗口处理65个点

向信号添加其他特征（例如噪声）稍微减弱了这种效果，但仍然存在，当每个窗口使用偶数个点时，两种方法之间的相对误差为~10％。 （我意识到在每个窗口65个点上计算的PSD的最高频率的相对误差相对较大。但是，这是在信号的奈奎斯特频率，我不太关心这么高频率的特征。我当每个窗口的点数是偶数时，更关心大部分信号带宽的大而系统的相对误差。

这种差异是否有原因？一种方法在准确性方面是否优于另一种方法？我使用scipy版本0.16.0和matplotlib版本1.4.3。

用于生成上述图的代码包括在下面。对于纯正弦信号，设置A_noise = 0;对于有噪声的信号，将A_noise设置为有限值。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import welch
from matplotlib import mlab

# Sampling information
Fs = 200.
t0 = 0
tf = 10
t = np.arange(t0, tf, 1. / Fs)

# Pure sinusoidal signal
f0 = 27.
y = np.cos(2 * np.pi * f0 * t)

# Add in some white noise
A_noise = 1e-3
y += (A_noise * np.random.randn(len(y)))

nperseg = 64    # even
# nperseg = 65  # odd

if nperseg > len(y):
    raise ValueError('nperseg > len(y); preventing unintentional zero padding')

# Compute PSD with `scipy.signal.welch`
f_welch, S_welch = welch(
    y, fs=Fs, nperseg=nperseg, noverlap=(nperseg // 2),
    detrend=None, scaling='density', window='hanning')

# Compute PSD with `matplotlib.mlab.psd`, using parameters that are
# *equivalent* to those used in `scipy.signal.welch` above
S_mlab, f_mlab = mlab.psd(
    y, Fs=Fs, NFFT=nperseg, noverlap=(nperseg // 2),
    detrend=None, scale_by_freq=True, window=mlab.window_hanning)

fig, axes = plt.subplots(2, 1, sharex=True)

# Plot PSD computed via both methods
axes[0].loglog(f_welch, S_welch, '-s')
axes[0].loglog(f_mlab, S_mlab, '-^')
axes[0].set_xlabel('f')
axes[0].set_ylabel('PSD')
axes[0].legend(['scipy.signal.welch', 'mlab.psd'], loc='upper left')

# Plot relative error
delta = np.abs(S_welch - S_mlab)
avg = 0.5 * np.abs(S_welch + S_mlab)
relative_error = delta / avg
axes[1].loglog(f_welch, relative_error, 'k')
axes[1].set_xlabel('f')
axes[1].set_ylabel('relative error')

plt.suptitle('nperseg = %i' % nperseg)
plt.show()

Answer 1

虽然参数可能看起来是等效的，但窗口参数对于偶数大小的窗口可能略有不同。更具体地说，除非提供特定的窗口向量，否则scipy的welch函数使用的窗口将生成

win = get_window(window, nperseg)

它使用默认参数fftbins=True，并根据scipy documentation：

如果为True，则创建一个“周期性”窗口，准备与ifftshift一起使用，并乘以fft的结果（另请参见fftfreq）。

这导致了均匀长度的不同生成窗口。从this section of the Window function entry on Wikipedia开始，这可能比Matplotlib的window_hanning具有轻微的性能优势，后者始终返回对称版本。

要使用相同的窗口，您可以明确指定两个PSD估计函数的窗口向量。例如，您可以使用以下方法计算此窗口：

win = scipy.signal.get_window('hanning',nperseg)

使用此窗口作为参数（在两个函数中使用window=win）将给出以下图表，您可能会注意到两个PSD估计函数之间更接近的一致性：

或者，假设您不想要定期窗口属性，您还可以使用：

win = mlab.window_hanning(np.ones(nperseg)) # or
win = scipy.signal.get_window('hanning',nperseg,fftbins=False)