从排列向量生成排列矩阵

Question

假设我有一个排列向量（行排列）

x <- c(1,2,3,4,7,8,5,6,9,10) # I exchanged 7 with 5 and 8 with 6.

R中是否有函数可以从排列向量生成相应的排列矩阵？如果是的话，请给我一个例子。

Answer 1

我相信这可以通过重新排序单位矩阵的行来完成：

x <- c(1,2,3,4,7,8,5,6,9,10)
diag(length(x))[x,]
#       [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
#  [1,]    1    0    0    0    0    0    0    0    0     0
#  [2,]    0    1    0    0    0    0    0    0    0     0
#  [3,]    0    0    1    0    0    0    0    0    0     0
#  [4,]    0    0    0    1    0    0    0    0    0     0
#  [5,]    0    0    0    0    0    0    1    0    0     0
#  [6,]    0    0    0    0    0    0    0    1    0     0
#  [7,]    0    0    0    0    1    0    0    0    0     0
#  [8,]    0    0    0    0    0    1    0    0    0     0
#  [9,]    0    0    0    0    0    0    0    0    1     0
# [10,]    0    0    0    0    0    0    0    0    0     1

Answer 2

这也可以用

sparseMatrix

来完成

library(Matrix)
m1 <- sparseMatrix(seq_along(v1), v1, x=1)

我们可以使用

matrix

 将其强制为 

as.matrix

as.matrix(m1)

数据

v1 <- c(1,2,3,4,7,8,5,6,9,10)

Answer 3

这就是人们可以在基础 R 中简单地做的事情（无包）。

让我们开始设置一些矩阵进行排列。

# Let us assume your nxn-matrix is
n <- 3
(M <- matrix(as.numeric(1:(n*n)), n))
#     [,1] [,2] [,3]
#[1,]    1    4    7
#[2,]    2    5    8
#[3,]    3    6    9

对于单个置换矩阵，基于随机向量置换（枢轴），我们有：

## To generate the permutation matrix associated to a random 1:n permutation:
vperm <- sample(1:n)
(mperm <- Reduce(\(m,i) `[[<-`(m, i, vperm[i], 1), 1:n, matrix(0, n, n)))
#     [,1] [,2] [,3]
#[1,]    0    1    0
#[2,]    1    0    0
#[3,]    0    0    1

## To permute the columns of M:
t(mperm) %*% M
#     [,1] [,2] [,3]
#[1,]    2    5    8
#[2,]    1    4    7
#[3,]    3    6    9


## And, to permute the rows of M:
M  %*%  mperm
#     [,1] [,2] [,3]
#[1,]    4    1    7
#[2,]    5    2    8
#[3,]    6    3    9

现在，我们生成所有可能的主元向量和相关的置换矩阵

## To generate all possible random 1:n permutations:
vdisps <- expand.grid(rep(list(1:n), n))  # with repetitions
vperms <- Filter(\(v) length(unique(t(v))) == n, split(vdisps, 1:n^n))

## To generate the permutation matrices associated to each random permutation:
mperms <- lapply(vperms, \(permdf)
       Reduce(\(m,i) `[[<-`(m, i, permdf[[i]], 1), 1:n, matrix(0, n, n)))

## The related list of column-permutated matrices are
lapply(mperms, \(P) t(P) %*% M)

当然，这是R，所以我们可以使用它的子集功能。

## Given 
oo <- order(vperm) #,

## we can replace t(mperm) %*% M with:
identical(t(mperm) %*% M,  M[oo, ]) # TRUE
identical(M %*% mperm,  M[, oo]) # TRUE

这是使用带有

chol(..., pivot = TRUE)

的 Cholesky 分解时建议执行的操作。

NB

as.numeric()

很重要，在生成

M

时，让

identical()

发挥作用。