用“求解”解决非线性方程，不正确的解

Question

我正在测试MATLAB功能，以解决我打算做的项目的方程式，所以我给了它一个简单的测试运行，但它给我的结果是不正确的。我试图解决两个带有两个未知数的非线性方程，其中一个解是正确的，另一个不是。

syms theta d x y

eq1 = d * cos(theta) == x;
eq2 = d * sin(theta) == y;

sol = solve(eq1, eq2, theta, d)

sol.theta
sol.d

d的解决方案是正确的，但对于theta我得到：

 -2*atan((x - (x^2 + y^2)^(1/2))/y)
 -2*atan((x + (x^2 + y^2)^(1/2))/y)

对theta的正确答案就是atan（y / x）

然后，当我用x = 1，y = 0评估这些解决方案时，我得到：

eval(sol.d)
eval(sol.theta)

d = 1, -1
theta = NaN, -3.1416

d的解决方案是正确的，但那个场景中的theta应该是0.我做错了什么？

编辑：手工解决它看起来像这样：用x等式划分y等式

y/x = (d * sin(theta)) / (d * cos(theta))
y/x = sin(theta)/cos(theta)
y/x = tan(theta)
theta = atan(y/x)

即使matlab以其他方式解决它并得到不同的表达式，当我使用数字时它应该仍然产生相同的最终结果，而它总是如此。

对于x = 1和y = 0，θ应为0，=>这不起作用，它给出NaN（下面的解释）

对于x = 1和y = 1，theta应该是45度=>这是有效的

对于x = 0和y = 1 theta应该是90度=>这是有效的

我只是用x和y的45度和90度值再次检查它并且它可以工作，但是对于x = 1和y = 0，它仍然将NaN作为答案之一，这是因为它得到了0/0表达它的方式

-2*atan((x - (x^2 + y^2)^(1/2))/y)
-2*(1 - (1^2 + 0^2))^(1/2)/0 
-2*(1 - 1)^(1/2)/0 
0/0

但如果它以atan（y / x）的形式出现，结果是

theta = atan(0/1) 
theta = atan(0)
theta = 0 

Answer 1

你的意思是解决这个问题：

syms a b theta d real

eq1 = a==d * cos(theta) ;
eq2 = b==d * sin(theta) ;

[sol] = solve([eq1 eq2],[d theta] ,'IgnoreAnalyticConstraints', true,'Real',true,'ReturnConditions',true);

Answer 2

当使用符号x和y求解方程时，求解器将找到具有特定条件的解，可以使用参数'ReturnCondition'获得：

syms x y theta d real

eq1 = d*cos(theta) == x;
eq2 = d*sin(theta) == y;

sol = solve([eq1; eq2],[d theta],'ReturnConditions',true);

这为sol提供了以下结果

>> sol.d
  (x^2 + y^2)^(1/2)
 -(x^2 + y^2)^(1/2)

>> sol.theta
  2*pi*k - 2*atan((x - (x^2 + y^2)^(1/2))/y)
  2*pi*k - 2*atan((x + (x^2 + y^2)^(1/2))/y)

>> sol.parameters
  k

>> sol.conditions
  y ~= 0 & in(k, 'integer')
  y ~= 0 & in(k, 'integer')

如您所见，y = 0不满足求解器给出的这种通用解，导致y = 0的问题。您可以通过使y数字而不是符号来找到y = 0的解，或者通过添加假设：

syms x y theta d real
assume(y==0)
sol = solve([eq1; eq2],[d theta],'ReturnConditions',true);

我想在这一个条件下设置y = 0数字更容易，因为上面三条线路已经有4种可能的解决方案和条件。