求给定根的多项式的系数

Question

我正在尝试编写一个算法，在给定

a(0),..., a(n-1)

的值的情况下找到

n, x_1, ..., x_n, a(n)

，这样：

a(n)*p^n + a(n-1)*p^(n-1) + ... + a(1)*p + a(0) = a(n)(p-x_1)(p-x_2)...(p-x_n)

对于所有真实的p。

乘以 a(n)(p-x_1)(p-x_2) 之后，我想到使用 Viete 公式来查找系数。

但事实证明，把代码写下来并不像我想象的那么明显。

我只想在代码中使用基础知识 - 即循环、if-s 加法和乘法 - 没有现成/复杂的函数。

以下是公式：

首先，我想强调的是，我只需要一个伪代码，我不关心为根和系数定义数组。这就是为什么我只写a(n), xn。哦，我希望如果我从 i=1 而不是 i=0 开始索引以便与数学符号保持同步，这不会太打扰您。为了从 i=0 开始，我必须重新枚举根并引入更多括号。

这就是我到目前为止所想到的：

a(n-1)=0;
for(i=1; i <= n; i++){
    a(n-1) = a(n-1) + x_i;
}

a(n-1) = -a(n)*a(n-1);
a(n-2)=0;

for(i=1; i <= n; i++){ 
    for(j=i; j <= n; j++){
        a(n-2) = a(n-2)+ x_i * x_j;
    }
}

a(n-2) = -a(n)*a(n-2);
a(n-3)=0;

for(i=1; i <= n; i++){
    for(j=i; j <= n; j++){
        for(k=j; k <= n; k++){
            a(n-3) = a(n-3)+ x_i * x_j * x_k;
        }
    }
}

a(n-3) = a(n)*a(n-3);

...

a(0)=1;
for(i=1; i<=n; i++){
    a(0) = a(0) * x_i;
}
if(n%2 == 0) a(0) = a(n) * a(0);
else a(0) = -a(n) * a(0);

如你所见，看起来不太好。

我想将所有这些循环链接到一个循环中，因为如果没有，我无法编写完整的代码，我无法填补固定 j 的 a(0) 和 a(n-j) 之间的空白。

你能帮我吗？

这就是我所拥有的，基于 Nico Schertler 的回答：

for(i=1; i<=n; i++)
{a(i)=1; 
for(j=1; j <= n; j++)
{b(i)= clone( a(i) );
a(i) = a(i-1);
b(i) = x_j * b(i);
c(i) = a(i) - b(i);
}
}

如果我们这样写，会一样吗

for(i=1; i<=n; i++)
{a(i)=1; b(i)=1;
for(j=1; j <= n; j++)
{t = a(i) ;
a(i) = a(i-1);
b(i) = x_j * t;
c(i) = a(i) - b(i);
}
}

（这就是我们如何通过将 a[i] 的值保留在某个变量 t 中来交换数组的两个元素）。

Answer 1

您可以增量创建多项式。

从

p = 1

开始。 IE。

a(0) = 1

。

为了添加根，您必须将当前多项式乘以

x - x_i

。这是：

p * (x - x_i) = p * x - p * x_i

所以需要支持三种操作：

1.乘以 x

这很简单。只需将所有系数向左移动一位即可。即

a(i    ) := a(i - 1)
a(i - 1) := a(i - 2)
...
a(1    ) := a(0)
a(0    ) := 0

2.乘以标量

这同样简单。将每个系数相乘：

a(i    ) *= s
a(i - 1) *= s
...

3.减法

只需减去各自的系数即可：

c(i    ) = a(i    ) - b(i    )
c(i - 1) = a(i - 1) - b(i - 1)
...

总共

逐根添加根。首先，克隆当前的多项式。然后，进行上述操作：

p := 1
for each root r
    p' = clone(p)
    multiply p with x
    multiply p' with r
    p := p - p'
next

Answer 2

C# 中用于此目的的静态函数。 x^4-11x^3+44x^2-76x+48 的根是 {2,2,3,4} 并给定参数

 roots = new Complex[4] {2, 2, 3, 4}

此函数返回 [48,-76,44,-11,1]

public static double[] FromRoots(Complex[] roots)
{
   int N = roots.Length;
   Complex[] coefs = new Complex[N + 1];
   coefs[0] = -roots[0];
   coefs[1] = 1.0;

   for (int k = 2; k <= N; k++)
   {
       coefs[k] = 1.0;
       for (int i = k - 2; i >= 0; i--)
       {
           coefs[i + 1] = coefs[i] - roots[k - 1] * coefs[i + 1];
       }
       coefs[0] *= -roots[k - 1];

       if (Math.IEEERemainder(k, 2) == 1)
           coefs[k] = -coefs[k];
    }

        double[] realCoefs = new double[N + 1];
        for (int i = 0; i < N + 1; i++)
            realCoefs[i] = coefs[i].Real; // Not sure about this part!

        return realCoefs;
    }

Answer 3

我想向 PDL 添加

polyfromroots

，因此需要一个 C 版本。

Octave 中的算法（撰写本文时的 GitHub 版本，带有我的评论）：

  y = zeros (1, n+1);
  y(1) = 1;
  for j = 1:n
    # this invisibly creates temporary copy before assign
    y(2:(j+1)) -= v(j) .* y(1:j);
  endfor

翻译为C99：

/* pc must point to a block of degree+1 complex doubles */
void polyfromroots(complex double root[], int degree, complex double coeff[])
{
  int j, k;
  coeff[0] = 1.0;
  for (j = 1; j <= degree; j++) coeff[j] = 0.0;
  for (j = 0; j < degree; j++)
    for (k = j; k >= 0; k--) /* count down to use data before we mutate */
      coeff[k+1] -= root[j] * coeff[k];
}