最小化投资组合跟踪误差会产生不合逻辑的结果

Question

我有一个

pd.DataFrame

，每日股票收益形状为

(250,10)

，还有一个

pd.Series

，我的基准日收益形状为

(250,)

。目标是最大限度地减少股票投资组合与基准之间的跟踪误差。 跟踪误差是（投资组合 - 基准）的标准差 但不知何故，

scipy.minimize

无法正确最小化跟踪误差函数，结果没有任何意义。对于其他功能，例如最大化回报，它可以完美地工作。

最终这两行应该非常相似，但事实并非如此。 scipy 不会抱怨，但结果却不是人们所期望的，你知道为什么这个目标函数会困扰 scipy 吗？

MWE：

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy.optimize import minimize

def portfolio_te(weights, rets, bm_rets):
    port_returns = np.dot(rets, weights)
    te = np.sqrt(np.mean((port_returns - bm_rets)**2))
    return te

stocks_returns = pd.DataFrame(np.random.normal(0, 0.02, (250, 10)))
benchmark_returns = pd.Series(np.random.normal(0, 0.02, 250))

result = minimize(portfolio_te, x0=[0.1 for i in range(10)],
        bounds=[(0,0.3) for i in range(10)], method='SLSQP',
        args=(stocks_returns, benchmark_returns))
        
port_returns = pd.Series(np.dot(stocks_returns, result.x))

ts = pd.concat([(1+port_returns).cumprod(), (1+benchmark_returns).cumprod()], axis=1)
ts.plot()

Answer 1

我不清楚是否有解决这个问题。

您有 10 只股票可供选择，它们都有随机回报。您有一个也是随机创建的索引。您会期望任意两组随机数之间的相关性几乎为零，因此任何投资组合与基准之间的匹配度都会相当差。

如果我改变问题，使其确实有一个解决方案，通过随机创建一些权重，计算给定这些权重的股票收益，然后在给定股票收益的情况下求解原始权重，它的工作相当可靠。

true_weight = np.random.rand(10)
true_weight /= true_weight.sum()  # Ensure weights sum to 1
stocks_returns = pd.DataFrame(np.random.normal(0, 0.02, (250, 10)))
benchmark_returns = pd.Series((stocks_returns.values @ true_weight))

现在您知道了真实的权重，您可以检查最小化是否能够找到它们。

average_pct_error = np.abs((((result.x - true_weight) / true_weight) * 100)).mean()
print(f"Average portfolio component was wrong from true weight by {average_pct_error:.2f}%")

累积回报图也符合。

执行此操作时，误差约为 0.1%，您可以通过

ftol

 选项将其降低到接近零：

result = minimize(portfolio_te, x0=[0.1 for i in range(10)],
        bounds=[(0,0.3) for i in range(10)], method='SLSQP',
        options=dict(ftol=1e-10),
        args=(stocks_returns, benchmark_returns))

指定损失函数的另一种方法是最小化累积收益 RMSE。这改进了您正在制作的图表，但我担心它会高估时间序列早期匹配回报与稍后匹配回报的价值。