为什么Functor类没有返回功能？

Question

从分类的角度来看，仿函数是一对两个映射（一个在对象之间，另一个在类别的箭头之间），遵循一些公理。

我假设，每个Functor实例与数学定义类似，即可以映射对象和函数，但Haskell的Functor类只有映射函数的函数fmap。

为什么这样？

UPD换句话说：

每个Monad类型M都有return :: a -> M a功能。

和Functor类型F没有功能return :: a -> F a，但只有F x构造函数。

Answer 1

首先，有两个层次：类型和价值。由于Hask的对象是类型，您只能使用类型构造函数映射它们，类型构造函数具有* -> *类型：

• α -> F α（Functor F），
• β -> M β（为Monad M）。

然后对于仿函数，你需要一个关于态射的映射（即函数，它们是值）：它只是fmap :: (α -> β) -> (F α -> F β)。

到目前为止，我想，我不是说任何新的东西。但重要的是return :: α -> M α的Monad不是你可能认为的α类型M α的映射器。关于monad的数学定义，return对应于从Id仿函数到M仿函数的自然变换。只是这个Id仿函数是隐含的。 monad的标准定义还需要另一种自然变换M ◦ M -> M。所以将它翻译成Haskell就好了

class Functor m => Monad m where
    return :: Id α -> m α
    join :: m (m α) -> m α

（作为旁注：这两个自然变换实际上是单位和乘法，这使monad成为endofunctors类别中的monoid）

实际定义不同但是相同。请参阅Haskell/wiki。

如果你采用类似于组合的运算符派生自标准绑定qazxsw poi：

>>= :: m α -> (α -> m β) -> m β

你可以看到，它实际上是关于

(>=>) :: Monad m => (α -> m β) -> (β -> m γ) -> (α -> m γ)
f >=> g = \a => f a >>= g

。另见Kleisli category关于计算机科学中的monads。

Answer 2

类别的对象与OO编程语言中的对象不同（我们更喜欢在Haskell中调用这些值;它们在类别理论中的含义是讨论过article on nLab）。相反，Hask的对象是类型。 Haskell heres是Hask中的endofunctors，即通过以下方式将类型关联到类型：

前奏>：k也许吧 也许:: * - > * 前奏>：k Int Int :: * 前奏>：k也许Int 也许Int :: *

OTOH，Hask的箭头实际上是某些函数类型Functor的值。这些通过以下方式关联：

a -> b

Answer 3

如果你有

fmap :: ( Functor (f ::   t     ->     f t       {- type-level  -} ) )
             =>         (a->b)  ->  fmap(a->b)   {- value-level -}
                     ≡  (a->b)  ->  (f a->f b)

然后类型构造函数

instance Functor F where
    fmap = ...

是对象（它是类型）的动作，将类型F带到T类型，而F T是对函数fmap到f :: T -> U的态射（函数）的动作。

Answer 4

虽然你在你的问题中使用那些花哨的分类术语，并且应该对现有的答案完全满意，但这是尝试一个相当简单的解释：

假设在Functor类型类中会有一个函数fmap f :: F T -> F U（或return或pure或unit）。

现在尝试定义Functor的一些常见实例：...（列表），[]，Maybe（带左侧组件的元组）

很容易，嗯？

以下是普通的Functor实例：

((,) a)

那么

instance Functor [] where
   fmap f (x : xs) = f x : fmap xs
   fmap _ []       = []

instance Functor Maybe where
   fmap f (Just x) = Just (f x)
   fmap _ Nothing  = Nothing

instance Functor ((,) a) where
   fmap f (x, y) = (x, f y)

for Functor怎么样？

列表：

return

好的。可能呢？

instance Functor [] where
   return x = [x]

好的。现在元组：

instance Functor Maybe where
   return x = Just x

你知道，不知道哪个值应该填充到该元组的左侧组件中。实例声明说它有一个类型

instance Functor ((,) a) where
   return x = (??? , x)

但我们不知道该类型的值。也许类型a是a类型，只有一个值。但如果它的Unit，我们应该采取Bool或True？如果是False我们应该采取Either Int Bool或Left 0或Right False？

所以你看，如果你在Functors上有一个Left 1，你就无法定义很多有效的函子实例（你需要强加一个像FunctorEmpty类型类的约束）。

如果你查看return和Functor的文档，你会发现确实有Monad的实例，但没有Functor ((,) a)的实例。这是因为你无法为那件事定义Monad ((,) a)。