圆 - 圆碰撞预测

Question

我知道如何检查两个圆是否相互交叉。但是，有时圆圈移动太快并最终避免在下一帧上发生碰撞。

我目前解决问题的方法是在前一个位置和当前位置之间检查圆圈碰撞任意次数。

有没有一种数学方法可以找到两个圆碰撞所需的时间？如果我能够获得该时间值，我可以将圆圈移动到那个位置，然后在那个时候碰撞它们。

编辑：恒定速度

Answer 1

我假设圆圈的运动是线性的。假设圆A的中心位置由矢量方程Ca = Oa + t*Da给出

Ca = (Cax, Cay)是目前的职位 Oa = (Oax, Oay)是首发位置 t是经过的时间 Da = (Dax, Day)是每单位时间（速度）的位移。

同样对于圆圈B的中心：Cb = Ob + t*Db。

那么你想找到这样的||Ca - Cb|| = (ra + rb)，其中ra和rb分别是圆圈A和B的半径。

平方双方： ||Ca-Cb||^2 = (ra+rb)^2 并扩大： (Oax + t*Dax - Obx - t*Dbx)^2 + (Oay + t*Day - Oby - t*Dby)^2 = (ra + rb)^2

从那里你应该得到一个二次多项式，你可以求解t（如果存在这样的t）。

Answer 2

这是解决Andrew Durward的优秀答案的方法。

要插入值，可以跳到底部。

(Oax + t*Dax - Obx - t*Dbx)^2 + (Oay + t*Day - Oby - t*Dby)^2 = (ra + rb)^2


(Oax * (Oax + t*Dax - Obx - t*Dbx) + t*Dax * (Oax + t*Dax - Obx - t*Dbx)
 - Obx * (Oax + t*Dax - Obx - t*Dbx) - t*Dbx * (Oax + t*Dax - Obx - t*Dbx))
+
(Oay * (Oay + t*Day - Oby - t*Dby) + t*Day * (Oay + t*Day - Oby - t*Dby)
 - Oby * (Oay + t*Day - Oby - t*Dby) - t*Dby * (Oay + t*Day - Oby - t*Dby))
=
(ra + rb)^2


Oax^2 + (Oax * t*Dax) - (Oax * Obx) - (Oax * t*Dbx)
 + (t*Dax * Oax) + (t*Dax)^2 - (t*Dax * Obx) - (t*Dax * t*Dbx)
 - (Obx * Oax) - (Obx * t*Dax) + Obx^2 + (Obx * t*Dbx)
 - (t*Dbx * Oax) - (t*Dbx * t*Dax) + (t*Dbx * Obx) + (t*Dbx)^2
+
Oay^2 + (Oay * t*Day) - (Oay * Oby) - (Oay * t*Dby)
 + (t*Day * Oay) + (t*Day)^2 - (t*Day * Oby) - (t*Day * t*Dby)
 - (Oby * Oay) - (Oby * t*Day) + Oby^2 + (Oby * t*Dby)
 - (t*Dby * Oay) - (t*Dby * t*Day) + (t*Dby * Oby) + (t*Dby)^2
=
(ra + rb)^2


t^2 * (Dax^2 + Dbx^2 - (Dax * Dbx) - (Dbx * Dax)
       + Day^2 + Dby^2 - (Day * Dby) - (Dby * Day))
+
t * ((Oax * Dax) - (Oax * Dbx) + (Dax * Oax) - (Dax * Obx)
      - (Obx * Dax) + (Obx * Dbx) - (Dbx * Oax) + (Dbx * Obx)
      + (Oay * Day) - (Oay * Dby) + (Day * Oay) - (Day * Oby)
      - (Oby * Day) + (Oby * Dby) - (Dby * Oay) + (Dby * Oby))
+
Oax^2 - (Oax * Obx) - (Obx * Oax) + Obx^2
  + Oay^2 - (Oay * Oby) - (Oby * Oay) + Oby^2 - (ra + rb)^2
=
0

现在它是一个标准形式的二次方程：

ax2 + bx + c = 0

像这样解决了：

x = (−b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a       // this x here is t

哪里 -

a = Dax^2 + Dbx^2 + Day^2 + Dby^2 - (2 * Dax * Dbx) - (2 * Day * Dby)

b = (2 * Oax * Dax) - (2 * Oax * Dbx) - (2 * Obx * Dax) + (2 * Obx * Dbx)
     + (2 * Oay * Day) - (2 * Oay * Dby) - (2 * Oby * Day) + (2 * Oby * Dby)

c = Oax^2 + Obx^2 + Oay^2 + Oby^2
    - (2 * Oax * Obx) - (2 * Oay * Oby) - (ra + rb)^2

如果 - 存在（发生碰撞）

(a != 0) && (b^2 >= 4ac)

Answer 3

您可以使用方向矢量和速度预测碰撞，这将为您提供后续步骤，以及它们何时发生碰撞（如果有）。

你只需要检查线交叉算法来检测......