BigInteger.isProbablePrime 似乎比它说的更确定

Question

我理解确定性论点的意思是：

certainty - 衡量调用者愿意容忍的不确定性：如果调用返回 true，则此 BigInteger 为素数的概率超过 (1 - 1/2^certainty)

从我的实验来看，它似乎超过了它不少！下面的代码找到 2 到 100 万之间的“可能素数”，并检查一组确定的素数以查看它是否是误报。

我使用的确定性参数为 2。因此，我预计只有 75% 的“可能素数”将是实际素数。 （1 - 1/2² = 0.75 = 75%。）

实际上，它在 99.9% 的时间里都是正确的。

我对“确定性”的理解正确吗？我怀疑如果我在实验中看到的确定性超出我的预期那么多。

import java.math.BigInteger;
import java.util.BitSet;

import static java.lang.Math.sqrt;

public class PrimesCalculator {
    public final int max;
    private final BitSet sieve;  // Set of all non-primes from 2 to max.

    public PrimesCalculator(int max) {
        this.max = max;
        sieve = new BitSet(max+1);
        for (int n = 2, sqrtMax = (int) sqrt(max); n < sqrtMax; n++)
            for (int i = n * 2; i < max; i += n)
                sieve.set(i);
    }

    public boolean isPrime(int n) {
        return !sieve.get(n);
    }

    public static void main(String[] args) {
        PrimesCalculator calc = new PrimesCalculator(1_000_000);
        int numPrimes = 0;
        int numProbablePrimes = 0;
        for (int i = 2; i < calc.max; i++)
            if (BigInteger.valueOf(i).isProbablePrime(2)) {
                numProbablePrimes++;
                if (calc.isPrime(i))
                    numPrimes++;
            }
        System.out.printf("%s/%s (%s%%)%n", numPrimes, numProbablePrimes, numPrimes / (numProbablePrimes / 100.0));
    }
}

Answer 1

这些陈述经常引起混淆。我会尝试在这里更好地解释它。

Java 的

BigInteger.isProbablePrime()

根本不包含对小整数的优化，除了 0、1 和 2 被视为特殊情况并且除 2 之外的所有偶数整数都立即声明为复合。在撰写本文时，这将是真实的。

使用 Miller-Rabin (MR) 素数测试检查所有其他奇数的素数。此外，如果整数是 100 位或更大，它也会使用称为 Lucas-Lehmer 测试的东西进行检查。

MR 是一个复杂的素数测试，其解释和分析超出了 SO 答案的范围。关键是，就 MR 而言，并非所有复合材料都生而平等。非常非常小的一部分是 stubborn，这意味着要发现它们的复合性要困难得多。举几个例子：在小奇数组合中，91、703 和 1891 是顽固的。 MR 通过尝试多次随机尝试来发现整数的复合性来克服这个问题。 Rabin 的分析表明，对于最顽固的复合材料，单次随机尝试仍有至少 75% (3/4) 的概率揭示其复合材料。

算法无法知道哪些复合材料是顽固的。对于密码学，得到一个你被告知是素数但实际上是复合数的数字可能是灾难性的。因此，为了安全起见，

certainty

的公式假设 all 它测试素数的数字都是顽固的复合数或实素数。

certainty

参数几乎等同于指定 MR 算法需要执行的随机尝试次数。实际上，Java 实现中

certainty

参数与随机尝试次数之间的关系似乎更复杂，仅通过阅读源代码我自己并没有完全理解它。

但请记住我说过顽固的复合材料的比例非常非常小。您测试的几乎每个复合材料都不是顽固的，并且随着质数变大，仅在一次随机尝试后就会使 MR 失败。这就是为什么您的成功率似乎是 99.9%。

作为查看不同复合材料性能的实验，将您的程序更改为只是反复尝试确认 1891 年的复合材料。您会看到接近 75% 的成功率。

一个相对较小的 MR-stubborn 复合材料列表是这里.

Answer 2

您引用的文档是正确的。

certainty - 衡量调用者愿意容忍的不确定性：如果调用返回 true，则此 BigInteger 为素数的概率超过 (1 - 1/2^certainty)

99.9% 确实超过 1 - 1/(2²) = 3/4，所以您向我们展示的内容没有任何问题。

实现不保证这就是 exactly 概率，它只是提供了一个实现，其错误是 definitely bounded by that certainty.

大多数质量素性测试器都会对小素数进行大量优化，或者更确切地说，对除数是小合数的数进行优化。这些可能会在算法的随机方面之前启动，从而导致小素数的准确性高于平常。