是否存在非负浮点 a,b,c 使得 a + (b - a) * c > b 且 a < b and c < 1?

Question

这个问题与 (b - a) + a != b 何时恰好在浮点中 但带有一个附加乘法器

c

必须严格小于

1

。

正式地，我问自己是否存在任何浮点数

a

、

b

和

c

使得

1. 0 <= a < b

2. 0 <= c < 1

3. a + (b - a) * c > b

   .

如果存在这样的三元组，我进一步想知道我们是否可以找到正常的浮点数，或者这三个数中的某些是否需要次正规。

首先要找到这样的三元组，很明显，如果它有效，它将与

c = 1. - epsilon

一起工作，即小于

1

的最大浮点。因此，为了找到

a

和

b

的合适值，我尝试了多种方法但没有成功：

1. 生成大量随机值
2. 按照此答案中的建议生成

   a = i / n

   和

   b = j / n

   与

   0 <= i < j <= n

   对：https://stackoverflow.com/a/51383057/23137796。我尝试了所有

   (i,j,n)

   与

   n <= 1000

   的配对。我可以找到很多带有

   a + (b - a) > b

   的配对，但没有找到带有

   a + (b - a) * c > b

   的配对。
3. 我尝试生成彼此接近的

   a

   和

   b

   值（即彼此仅相距 epsilon 或相距某个常数倍的 epsilon，最多 100）。我找不到任何一对满足

   a + (b - a) > b

   。

Answer 1

考虑 IEEE-754 二进制 32 向 + 无穷大舍入。令

a

为 ½−2⁻²⁵，即 1/2 以下的可表示数。令

b

为 1。令

c

为 1−2⁻²⁴，即小于 1 的可表示数字。

b

−

a

（数学减法）为 ½+2⁻²⁵。这是不可表示的，因此

b-a

（浮点减法）向 +∞ 舍入会产生 ½+2⁻²⁴。

b-a

•

c

是 ½+2⁻²⁴−2⁻²⁵-2⁻⁴⁸，因此

(b-a)*c

产生 ½+2⁻²⁴。那么

a

+

(b-a)*c

就是 ½−2⁻²⁵+½+2⁻²⁴ = 1−2²⁵+2⁻²⁴ = 1+2⁻²⁵。 1+2⁻²⁵ 无法表示，因此向 +∞ 舍入会产生 1+2⁻²³，因此

a + (b-a)*c

会产生 1+2⁻²³，它大于

b

。

用 C 语言演示，输出：

#include <fenv.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>

#pragma STDC FENV_ACCESS ON


int main(void)
{
    fesetround(FE_UPWARD);
    float a = nexttowardf(.5f, 0);
    float b = 1;
    float c = nexttowardf(1, 0);
    printf("%a\n", a + (b-a)*c);
}

是：

0x1.000002p+0