为什么在Fortran上进行黎曼和逼近时，中点规则比Simpson规则更准确

Question

大家。

我正在使用中点规则和Simpson规则来计算[1,2]中x ^ 2的积分。我发现，在相同数量的子区间中，中点规则近似似乎比辛普森的规则近似更准确，这真的很奇怪。

中点规则近似的源代码是：

program midpoint
implicit none                 ! Turn off implicit typing
Integer, parameter :: n=100   ! Number of subintervals
integer :: i                  ! Loop index
real :: xlow=1.0, xhi=2.0     ! Bounds of integral
real :: dx                    ! Variable to hold width of subinterval
real :: sum                   ! Variable to hold sum
real :: xi                    ! Variable to hold location of ith subinterval
real :: fi                    ! Variable to value of function at ith subinterval
dx = (xhi-xlow)/(1.0*n)       ! Calculate with of subinterval
sum = 0.0                     ! Initialize sum
xi = xlow+0.5*dx              ! Initialize value of xi
do i = 1,n,1                  ! Initiate loop
 ! xi = xlow+(0.5+1.0*i)*dx
 write(*,*) "i,xi ",i,xi      ! Print intermidiate result
 fi = xi**2                   ! Evaluate function at ith point
 sum = sum+fi*dx              ! Accumulate sum
 xi = xi+dx                   ! Increment location of ith point
end do                        ! Terminate loop
write(*,*) "sum =",sum
stop                          ! Stop execution of the program
end program midpoint

相应的执行是：

  ......                   .....      ..................  
 i,xi          100   1.99499905    
 sum =   2.33332348 

Simpson规则近似的源代码是：

program simpson
implicit none                 ! Turn off implicit typing
integer, parameter :: n=100   ! Number of subintervals
integer :: i=0                ! Loop index
real :: xlow=1.0, xhi=2.0     ! Bounds of integral
real :: h                     ! Variable to hold width of subinterval
real :: sum                   ! Variable to hold sum
real :: xi                    ! Variable to hold location of ith subinterval
real :: fi                    ! Variable to value of function at ith subinterval
real :: Psimp                 ! Variable of simpson polynomial of xi interval
h = (xhi-xlow)/(1.0*n)        ! Calculate width of subinterval
sum = 0.0                     ! Initialize sum
do while (xi<=xhi-h)          ! Initiate loop
 xi = xlow+i*2.0*h            ! Increment of xi
 i=i+1
 write(*,*) "i,xi ",i,xi      ! Print intermidiate result
 Psimp=xi**2+4.0*(xi+h)**2+(xi+2.0*h)**2
                              ! Evaluate function at ith point
 sum = sum+(h/3.0)*Psimp      ! Accumulate sum
end do                        ! Terminate loop
write(*,*) "sum =",sum
end program simpson

相应的执行是：

 ........                  ......    ...................  
 i,xi          101   2.00000000    
 sum =   2.37353396 

为了获得与中点结果相同的数字精度，我必须将Simpson程序中的子间隔数设置为100000，这比中点程序多1000倍（我最初将两个数字子区间设置为100）

我检查辛普森程序中的代码，但找不到什么错误。

如果我记得正确的话，辛普森的规则应该比中点规则更快地收敛。

Answer 1

Craig Burley曾经说过，一旦qzxswpoi循环看起来像循环的前提被违反，循环将立即退出。这里循环的前提是在WHILE时被违反，但是循环在那个时刻没有中断，只有当完成整个迭代迭代并且测试可以应用在循环的顶部时。你可以更加一致地使用Fortran成语将循环转换为计算的x=xhi循环

DO

然后评论出来

DO i = 0, n/2-1

线。或者只需在修改 i=i+1 后立即测试循环前提：

xi

对于Simpson规则，无论哪种方式都可以得到精度不高于3的多项式。