计算任意给定 4 点的四面体的体积

Question

我需要根据四个角点的坐标计算四面体的体积。

Answer 1

假设您有 4 个顶点 a、b、c、d（3-D 向量）。

现在，问题归结为编写解决向量的叉积和点积的代码。如果您来自 python，您可以使用 NumPy，否则您可以自己编写代码。

维基百科链接肯定会对您有所帮助。 链接

Answer 2

计算此体积的一种方法是：

     1      [ax bx cx dx]
V = --- det [ay by cy dy]
     6      [az bz cz dz]
            [ 1  1  1  1]

这涉及到 4×4 行列式的评估。它可以很好地推广到更高维度的单纯形，其中 6 是 n!（维度的阶乘）的特例。生成的体积将是定向，即根据点的顺序可能为负。如果您不想这样，请取结果的绝对值。

如果您手头有数学库，则上述公式可能是最容易写下的公式之一，并且软件可以从那里获取它。如果没有，您可以首先通过从 a 到 c 减去 d 坐标来简化事情。这不会改变音量，但会将最右边的列变成

(0, 0, 0, 1)

。因此，您可以简单地将矩阵的值计算为左上角 3×3 子矩阵的行列式。并使用方程

det(a, b, c) = a · (b × c)

你最终得到了Surya的答案中的公式。

如果您没有点的坐标，而只有点之间的距离，请查看塔塔利亚公式，它本质上是上述公式的平方版本，尽管它并不像乍一看那么简单。

Answer 3

Ivan Seidel 的示例，Python 语言（答案是 1.3333...）

def determinant_3x3(m):
    return (m[0][0] * (m[1][1] * m[2][2] - m[1][2] * m[2][1]) -
            m[1][0] * (m[0][1] * m[2][2] - m[0][2] * m[2][1]) +
            m[2][0] * (m[0][1] * m[1][2] - m[0][2] * m[1][1]))


def subtract(a, b):
    return (a[0] - b[0],
            a[1] - b[1],
            a[2] - b[2])

def tetrahedron_calc_volume(a, b, c, d):
    return (abs(determinant_3x3((subtract(a, b),
                                 subtract(b, c),
                                 subtract(c, d),
                                 ))) / 6.0)

a = [0.0, 0.0, 0.0]
d = [2.0, 0.0, 0.0]
c = [0.0, 2.0, 0.0]
b = [0.0, 0.0, 2.0]

print(tetrahedron_calc_volume(a, b, c, d))

Answer 4

以下是 PHP 代码，用于计算给定 4 个点的任何四面体的体积：

class Math{
public static function determinant(array $vals){
    $s = sizeof($vals);
    $sum = 0.0;
    for( $i=0; $i < $s ; $i++ ){
        $mult = 1.0;
        for($j=0; $j < $s ; $j++ ){
            $mult *= $vals[$j][ ($i+$j)%$s ];
        }
        $sum += $mult;
    }
    for( $i=0; $i < $s ; $i++ ){
        $mult = 1;
        for($j=0; $j < $s ; $j++ ){
            $mult *= $vals[$j][ ($i-$j < 0? $s - ($j-$i) :($i-$j)) ];
        }
        $sum -= $mult;
    }
    return $sum;
}

public static function subtract(array $a, array $b){
    for($i = 0; $i < sizeof($a); $i++)
        $a[$i] -= $b[$i];

    return $a;
}
}
// TEST CASE
$a = array(0,0,0);
$d = array(2,0,0);
$c = array(0,2,0);
$b = array(0,0,2);

echo abs(Math::determinant(array(
Math::subtract($a, $b),
Math::subtract($b, $c),
Math::subtract($c, $d),
)))/6;

Answer 5

对于

python

，

numpy

，你可以这样编写代码。

import numpy as np

def tetrahedron_volume(points):
    p1, p2, p3, p4 = list(map(np.array, points))
    d0, d1, d2 = p4 - p1, p3 - p1, p2 - p1
    normal = np.cross(d1, d2)
    return 1/6 * np.abs(np.dot(d0, normal))