什么是最快的计算混合实复矩阵矢量积的方法？

Question

我面临的问题是，在矩阵严格为实且向量复杂的情况下，尽快计算矩阵向量乘积。更准确地说，实矩阵是（反）对称的，并且具有非零密集块的稀疏结构。

到目前为止，我的策略是将向量分为实部和虚部，并为每个密集块计算实部和虚部的矩阵向量乘积。由于矩阵是（反）对称的，因此我打算同时计算一个块及其转置的乘积，因此我可以重复使用矩阵所在的缓存行。因此，对于每个块，我将计算4个矩阵块的实矢量积及其每个实部和虚部的转置。

我为单个块计算这4个乘积的代码最终看起来像这样：

#define no_alias __restrict__

template <typename VecType, typename MatType>
void trans_mul( const VecType* const no_alias re_in,
                VecType* const no_alias re_out, 
                const VecType* const no_alias im_in,
                VecType* const no_alias im_out, 
                const VecType* const no_alias re_tin,
                VecType* const no_alias re_tout,
                const VecType* const no_alias im_tin,
                VecType* const no_alias im_tout,
                const MatType* no_alias mat, // the matrix block
                const int rows, 
                const int cols)
{
    for(int j = 0; j < cols; ++j) {
        for(int i = 0; i < rows; ++i) {
            const auto m = *mat++;        // this is mat[i, j]
            re_tout[j]  += m * re_tin[i]; // transposed
            im_tout[j]  += m * im_tin[i]; // transposed
            re_out[i]   -= m * re_in[j];
            im_out[i]   -= m * im_in[j];
        }
    }
}

典型的矩阵大小约为10 ^ 2。我使用带有-Ofast -march=native的GCC 9.2.1编译我的代码。从assembly output，我可以看到编译器正在自动向量化并使用SIMD指令。

我正在与使用Fortran编写的类似代码竞争，该代码仍以大约25％的速度运行。当然，我的代码是非常幼稚的，但是，我仍然想不出比这更快的速度，因为积极的优化似乎非常有效。我还尝试使用四个cblas_dgemv调用，但是这比我的幼稚方法要慢得多。还有什么我可以做的，还是有任何适合我情况的有用的BLAS例程？

Answer 1

对于相当大的矩阵（例如> = 1k），可以使用寄存器分块来提高性能（与算术运算相比，减少了内存加载/存储的数量）。对于小型矩阵，很难做得比原始代码更好。

这是带有寄存器阻止的结果代码：

#define no_alias __restrict__
#define mini(a, b) (((a)<(b)) ? (a) : (b))

template <typename VecType, typename MatType>
void trans_mul_v2( const VecType* const no_alias re_in,
                VecType* const no_alias re_out, 
                const VecType* const no_alias im_in,
                VecType* const no_alias im_out, 
                const VecType* const no_alias re_tin,
                VecType* const no_alias re_tout,
                const VecType* const no_alias im_tin,
                VecType* const no_alias im_tout,
                const MatType* no_alias mat, // the matrix block
                const int rows, 
                const int cols)
{
    // Block size (tuned for Clang/GCC on Intel Skylake processors)
    const int si = 16;
    const int sj = 8;

    for(int bj = 0; bj < cols; bj+=sj) {
        for(int bi = 0; bi < rows; bi+=si) {
            if(bi+si <= rows && bj+sj <= cols)
            {
                // The underlying loops are expected to be unrolled by the compiler
                for(int j = bj; j < bj+sj; ++j) {
                    for(int i = bi; i < bi+si; ++i) {
                        const auto m = mat[j*rows+i]; // Assume a column major ordering
                        re_tout[j]  += m * re_tin[i];
                        im_tout[j]  += m * im_tin[i];
                        re_out[i]   -= m * re_in[j];
                        im_out[i]   -= m * im_in[j];
                    }
                }
            }
            else
            {
                // General case (borders)
                for(int j = bj; j < mini(bj+sj,cols); ++j) {
                    for(int i = bi; i < mini(bi+si,rows); ++i) {
                        const auto m = mat[j*rows+i];
                        re_tout[j]  += m * re_tin[i];
                        im_tout[j]  += m * im_tin[i];
                        re_out[i]   -= m * re_in[j];
                        im_out[i]   -= m * im_in[j];
                    }
                }
            }
        }
    }
}

请注意，si和sj的值对执行时间有很大的影响。最佳值取决于编译器和基础架构。您可能应该针对目标计算机进行调整（如果需要性能可移植性，请将它们保持较小，尽管性能可能并非最佳）。

这里是结果（在GCC 9中使用双精度类型：]

With a row=100 and cols=100:
trans_mul_v1: 2.438 us
trans_mul_v2: 2.842 us

With a row=1k and cols=1k:
trans_mul_v1: 452 us
trans_mul_v2: 296 us

With a row=10k and cols=10k:
trans_mul_v1: 71.2 ms
trans_mul_v2: 35.9 ms