在matlab / mathematica中以数字方式评估无限积分，它不能象征性地进行

Question

我试图计算Matlab和Mathematica中函数的积分，软件不能象征性地完成。

这是我到目前为止的MatLab代码，但我知道它可能不是很有用。

f = @(t) asin(0.5*sin(t));
a = @(t) sin(t);
F = int(f,t)   % Matlab can't do this
F = 
int(asin(sin(t)/2), t)
A = int(a,t)   % This works
A =
-cos(t)

dt = 1/(N-1); % some small number
for i=1:N
    F(i) = integral(f,(i-1)*dt,i*dt);
    A(i) = integral(a,(i-1)*dt,i*dt);
end

for循环中的两个计算都给出了f或a的粗略近似值，而不是乘以dt后的积分。

在数学堆栈交换中，我发现了一个question，它可以得到一个有限差分，就像一个点上积分的方法一样。然而，当我在Matlab中进行计算时，它会输出缩小版的f，这在绘图后很明显（参见上面的缩小版我的意思）。我认为这是因为对于较小的间隔，积分基本上近似于不同精度的函数（再次参见上文）。

我试图获得积分的符号方程，或者每个位置的函数积分的近似值。

所以我的问题是，如果我有一个函数f，MatLab和Mathematica不能轻易地取积分

1. 除了默认值之外，我可以直接用积分计算器近似积分吗？ （int，integral，trapz）

要么

2. 我可以先用有限差分逼近函数，然后象征性地评估积分吗？

Answer 1

你的代码差不多就是这样

for i=1:N
    F(i) = integral(f,0,i*dt);
end

你也可以这样做

F(1)=integral(f,0,dt)
for i=2:N
    F(i) = F(i-1)+integral(f,(i-1)*dt,i*dt);
end

第二种选择肯定更有效率

因为基元实际上是F（x）= int（f（x），0，x）（0定义了某个常数），并且对于足够小的dx，你已经证明了f（x）= int（f（x），x ，x + dx）/ dx i。您已经证明MATLAB的intégral函数可以完成它的工作。

例如，让我们采取 = ，如果你想计算，只需用你喜欢的常数替换上面的0来计算a。

现在所以你应该得到F包含的离散化

Answer 2

一般来说，接受的答案是我所说的最好的方法，但如果你的功能有某些限制是允许的，那么还有第二种方法。

有两个函数f和g见下文

T = 1;  % Period
NT = 1;  % Number of periods
dt = 0.01; % time interval
time = 0:dt:NT*T;  % time

syms t
x = K*sin(2*pi*t+B);   % edit as appropriate

% f = A/tanh(K)*tanh(K*sin(2*pi*t+p))
% g = A/asin(K)*asin(K*sin(2*pi*t+p))

公式发现here

f = A1/tanh(K1)*(2^(2*1)-1)*2^(2*1)*bernoulli(2*1)/factorial(2*1)*x^(2*1-1);
% |K1|<pi/2
g = A2/asin(K2)*factorial(2*0)/(2^(2*0)*factorial(0)^2*(2*0+1))*x^(2*0+1);
% |K2|<1

在接受的答案中没有这样的限制

N = 60;
for k=2:N
    a1 = (2^(2*k)-1)*2^(2*k)*bernoulli(2*k)/factorial(2*k);
    f = f + A1/tanh(K1)*a1*x^(2*k-1);

    a2 = factorial(2*k)/(2^(2*k)*factorial(k)^2*(2*k+1));
    g = g + A2/asin(K2)*a*x^(2*k+1);
end

MATLAB可以计算sin^n(t)，因为n是一个整数。

F = int(f,t);
phi = double(subs(F,t,time));

G = int(g,t);
psi = double(subs(G,t,time));