如何让Cosine产品近似在Racket中工作？

Question

对于家庭作业，我必须编写一个函数，该函数提供余弦函数的乘积近似值，该函数递归直到当前和新计算的乘积之间的差值小于阈值。

(define (p_cos x)
(let* ([n 1]
       [xnew (* x (p_cos_aux x (+ n 1)))])
         (if (< (abs (- x xnew)) TOL)
             x
             (p_cos_aux xnew (+ n 1)))))

(define (p_cos_aux x n)
  (- 1 (/ (* 4 (square x)) (* (square pi) (square (- (* 2 n) 1))))))

这些值预计是：

(p_cos 0)
=> 1
(p_cos (/ pi 2))
=> 0

但是我得到了：

> (p_cos (/ pi 2))
0.9122085048010974
> (p_cos 0)
0

任何人都可以向我解释为什么我的输出远离预期值？

我将我的代码基于这个无限乘积公式，用于近似余弦：

cos（x）=Πn= 1n→[[1 - （4x2）/（22（2n - 1）2）

Answer 1

因为你基于这个数学公式：

cos（x）=Πn= 1n→[[1 - （4x2）/（22（2n - 1）2）

看起来你的p_cos_aux函数正在处理公式中方括号内的东西。所以你仍然需要将余弦定义为等于

cos（x）=Πn= 1n→∞(p_cos_aux x n)

如果您希望代码返回答案，那么您应该只为有限数量的n执行此操作。您可以使用递归或for循环执行此操作。在这种情况下，Racket的for/product循环很方便：

(for/product ([n (in-range 1 ...some-large-number...)])
  (p_cos_aux x n))

让我们尝试为大数字输入100：

(define (p_cos x)
  (for/product ([n (in-range 1 100)])
    (p_cos_aux x n)))

尝试一下：

> (p_cos 0)
1
> (p_cos (* 1/4 pi))
0.707553324600212
> (p_cos (* 1/2 pi))
0.0
> (p_cos (* 3/4 pi))
-0.7111358730792002
> (p_cos pi)
-1.01015228426396
> (p_cos (* 5/4 pi))
-0.7183556654338034
> (p_cos (* 3/2 pi))
-0.0
> (p_cos (* 7/4 pi))
0.7293234913165205
> (p_cos (* 2 pi))
1.0412338930105425

它并不完美，但你可以通过将100增加到更大的数字来获得更好的近似值。