用较小的球体最佳地填充3D球体

Question

我试图用“粒子”（由3D XYZ矢量表示）最佳地填充3D球形体积，这些粒子需要彼此保持特定的距离，同时试图最小化它们之间存在的自由空间量。

虽然有一个问题 - 粒子本身可能落在球形体积的边界上 - 它们不能存在于球体体外。理想情况下，我想最大化落在这个边界上的粒子数量（这让我觉得这是一种球形填充问题），然后向内填充剩余的体积。

有没有哪种算法可以解决这类问题？它不需要精确，但关键在于最终解决方案的密度需要相当准确（“完美”解决方案的+/- ~5％）。

Answer 1

你的约束有点模糊，很难说肯定，但我会尝试现场方法。首先看：

• Computational complexity and shape nesting
• Path generation for non-intersecting disc movement on a plane
• How to implement a constraint solver for 2-D geometry?

和子链接，您可以在其中找到此方法的一些示例。

现在的算法：

1. 将N粒子随机放入球体内 N应该安全地低，因此它比溶液颗粒数小。
2. 开始现场模拟 因此，使用您的解决方案规则来创建有吸引力和排斥力，并通过Newton D'Alembert物理驱动您的粒子。不要忘记添加摩擦力（因此运动将在一段时间后停止）和球体积边界。
3. 当粒子停止移动时停止 所以，如果max(|particles_velocity|)<threshold停止。
4. 现在检查是否所有颗粒都正确放置 不违反任何规则。如果是，那么请记住此放置作为解决方案，并再次使用N+1粒子从＃1重试。如果没有停止并使用最后正确的解决方案 为了加快速度，您可以添加更多粒子而不是使用(N+1)，类似于二分搜索（添加32个粒子直到你可以...然后只有16 ......）。此外，您不需要在＃1中使用随机位置进行其他运行。您可以让其他粒子开始放置在最后运行解决方案中的位置。

如何确定解决方案的准确性是完全不同的事情。由于您没有提供确切的规则，我们只能猜测。我会尝试估算理想的粒子密度，并根据球体积计算理想的粒子数。您也可以将此用于N的初始猜测，然后与最终的N进行比较。

Answer 2

没有一个公式可以用n个球体最佳地填充球体。在this维基百科页面上，您可以看到n <= 12的最佳配置。对于n <= 500的最佳配置，您可以查看this站点。正如您在这些网站上看到的，不同数量的球体具有不同的最佳对称组。