可靠地（过度）估计区间[m，n]中素数的公式？

Question

[相当长一段时间以来，我已经成功使用了一个简单的函数，该函数可靠地（过度）估计了给定n的质数，例如分配空间来容纳质数。现在，我正在寻找对interval [m，n]中的质数数目做相同的事情。

目标是尽可能接近实际素数，以最大程度地减少内存浪费，但永远不要过低低估实际数，因为这将意味着代价高昂的调整大小/重新分配。

这是我一直在使用的功能：

double overestimate_prime_count_up_to (double n)
{
    if (n < 137)
        return 32;
    else
        return 32 + (n / (Math.Log(n) - 1.08513));
}
ATM仅通过了32位范围的认证，但我打算对此进行更改。

无论如何，现在我正在寻找一种方法来对给定间隔[m，n]中的质数数目进行类似的估计，而不是对不大于n的所有质数进行估计。

如果可以找到最大为n的素数的可靠underestimate

，则可以通过减去n的（低）估计值来构造区间[m，n]的可靠高估。下边界从上边界的（过度）估计开始。

自然，低估只是解决方案的想法；我们的目标仍然是对区间内的质数数目进行可靠的（高估），以便尽可能减少浪费的空间，而从不为低估付出代价（或至少如此以至于没有关系）总体）。

[我已经在一流的How Many Primes Are There?网站上研究了Prime Pages页，紧随其后的链接和阅读了许多论文。但是它所做的只是让我的头游泳...

P.S .：非常欢迎对将可用性扩展到64位范围的评论，特别是因为这很可能需要区分更多情况或什至完全不同的策略（例如近似素数密度函数）。

[相当长一段时间以来，我已经成功使用了一个简单的函数，该函数可靠地（过度）估计了给定n的质数，例如分配空间来容纳质数。现在我正在寻找...

Answer 1

您可以做的一件事情是，首先先计算n≤55时素数小于或等于n的素数的确切值（基本上只是[[2， 55]然后您可以使用以下estimates by B. Rosser