如何计算该函数的增长率：T（n）= 2T（n ^（1/2））+ 2（n ^（1/2））

Question

我需要为我的作业计算这个函数的增长率：

T(n) = 2T( n^(1/2) ) + 2( n^(1/2) )

换一种方式：

T(n) = 2T( sqrt(n) ) + 2( sqrt(n) )

改变变量可能会有所帮助（类似于n = 2^m）

我找到的答案是log(n)*log(log(n))，但我知道这是不正确的。

Answer 1

n = 2^m确实是正确的变量替代品。定义一个函数S(m)：

S(m) = T(n) = T(2^m)

T(sqrt(n)) = T(2^[m/2]) = S(m/2)

S(m) = 2S(m/2) + 2^[m/2+1]

扩张：

S(m) =  4*S(m/4)  + 2*2^[m/4+1]  + 2^[m/2+1]
     =  8*S(m/8)  + 4*2^[m/8+1]  + 2^[m/4+2] + 2^[m/2+1]
     = 16*S(m/16) + 8*2^[m/16+1] + 2^[m/8+3] + 2^[m/4+2] + 2^[m/2+1]
     = ...

2^[m/2]将主导所有其他条款，因此：

S(m) = O(2^[m/2])

*********************
*                   *
* T(n) = O(sqrt(n)) *
*                   *
*********************

以上也可以使用Master Theorem得出（案例3）。