证明（未完全）不相干破坏COQ平等时，当

Question

我有一个依赖型该款机型在一个过渡系统有限路径。过渡系统具有功能R能产生一个命题说法是否有状态s和s'与标签a之间的边缘。有限路径类型是：

  Inductive FinPathTail (s : S i) :=
  | FPTNil: FinPathTail s
  | FPTCons (a : Act i) (s' : S i) : R i s a s' ->
                                     FinPathTail s' -> FinPathTail s.

（该“尾巴”位，因为这实际上机型所有，但开始s路径的头）。

我已经定义了一个CoInductive类型的可能是无限的PathTail（我将在底部坚持下去，以获得对问题更快），我有一个功能，fpt_to_pt，来变换FinPathTail成PathTail。这应该“明明”是射的，所以我想证明这种形式的引理：

Lemma fpt_to_pt_inj {s : S i} (fpt fpt' : FinPathTail s)
  : (forall s s' : S i, {s = s'} + {s <> s'}) ->
    fpt_to_pt fpt = fpt_to_pt fpt' -> fpt = fpt'.

当试图通过感应上fpt来证明这一点，我很快得到的地方，双方都已知conses之外的情况。我们的目标最终看起来是这样的：

PTCons s a s' r (fpt_to_pt fpt) = PTCons s a2 s'2 r2 (fpt_to_pt fpt') ->
FPTCons s a s' r fpt = FPTCons s a2 s'2 r2 fpt'

我想用injection战术分解。结果最终是这样的：

existT (fun s'0 : S i => PathTail s'0) s' (fpt_to_pt fpt) =
existT (fun s'0 : S i => PathTail s'0) s'2 (fpt_to_pt fpt') ->
s' = s'2 -> a = a2 -> FPTCons s a s' r fpt = FPTCons s a2 s'2 r2 fpt'

并使用inversion_sigma战术，我可以把它转换为：

B : s' = s'2
C : a = a2
A0 : s' = s'2
A1 : eq_rect s' (fun a : S i => PathTail a) (fpt_to_pt fpt) s'2 A0 = fpt_to_pt fpt'

我想我明白为什么我需要可判定源域，才能使用inj_pair2_eq_dec。我不明白的是：发生了什么事R和R 2？据我所知，我没有证据无关，但并不意味着他们必须一直在为相同的conses之外相等？还是我误解的东西有关的命题根本？

PS：下面是PathTail的coinductive定义：

CoInductive PathTail (s : S i) :=
| PTNil: PathTail s
| PTCons (a : Act i) (s' : S i) : R i s a s' -> PathTail s' -> PathTail s.

Answer 1

显然，injection策略默认情况下忽略了证据之间的平等，但是你可以重写与Keep Proof Equalities flag此行为：

Inductive foo : nat -> Prop :=
| Foo (n : nat) : foo n.

Inductive bar :=
| Bar (n : nat) : foo n -> bar.

Lemma test n nn m mm : Bar n nn = Bar m mm -> False.
Proof.
intros H. injection H. (* No equality generated. *)
Abort.

Set Keep Proof Equalities.

Lemma test n nn m mm : Bar n nn = Bar m mm -> False.
Proof.
intros H. injection H. (* Equality generated. *)
Abort.