我试图在Coq中明确证明命题主体与归纳原理的对称性,但是不能像在agda中那样用归纳原理做到这一点。我不知道如何在Coq中局部声明变量,也不知道如何展开定义,如下所示。如何获得类似于下面的agda的证明?
Inductive Id (A : Type) (x : A) : A -> Type :=
| refl : Id A x x.
(* trivial with induction *)
Theorem symId {A} {x y} : Id A x y -> Id A y x.
Proof.
intros.
induction H.
apply refl.
Qed.
Check Id_ind.
(* Id_ind *)
(* : forall (A : Type) (x : A) (P : forall a : A, Id A x a -> Prop), *)
(* P x (refl A x) -> forall (y : A) (i : Id A x y), P y i *)
Theorem D {A} (x y : A) : Id A x y -> Prop.
Proof.
intros.
apply (Id A y x).
Qed.
Theorem d {A} (x : A) : D x x (refl A x).
Proof.
apply refl.
Admitted.
此操作失败,我如何展开D以便断言反身性?
Theorem symId' {A} {x y} : Id A x y -> Id A y x.
Proof.
intros.
我如何适用于正确的论点?我如何才能通过战术在本地断言D和d(是否存在where或(让a = b进入)战术?)套用(Id_ind A x(for all:A,Id A x a-> Prop))。
这是我要模拟的agda代码
data I (A : Set) (a : A) : A → Set where
r : I A a a
J2 : {A : Set} → (D : (x y : A) → (I A x y) → Set)
→ (d : (a : A) → (D a a r )) → (x y : A) → (p : I A x y) → D x y p
J2 D d x .x r = d x
refl-I : {A : Set} → (x : A) → I A x x
refl-I x = r
symm-I : {A : Set} → (x y : A) → I A x y → I A y x
symm-I {A} x y p = J2 D d x y p
where
D : (x y : A) → I A x y → Set
D x y p = I A y x
d : (a : A) → D a a r
d a = r
尽管coq和agda J不相等,但它们大概是可导数的。
以Qed.
结尾的证明会使证明变得不透明。有时这就是您想要的,但是如果您想要证明的计算内容,则应该以Defined.
结尾。
这应该起作用,因为现在可以展开D
。
Inductive Id (A : Type) (x : A) : A -> Type :=
| refl : Id A x x.
(* trivial with induction *)
Theorem symId {A} {x y} : Id A x y -> Id A y x.
Proof.
intros.
induction H.
apply refl.
Qed.
Check Id_ind.
(* Id_ind *)
(* : forall (A : Type) (x : A) (P : forall a : A, Id A x a -> Prop), *)
(* P x (refl A x) -> forall (y : A) (i : Id A x y), P y i *)
Theorem D {A} (x y : A) : Id A x y -> Prop.
Proof.
intros.
apply (Id A y x).
Defined.
Theorem d {A} (x : A) : D x x (refl A x).
Proof.
apply refl.
Qed.
关于您的其他问题。您可以通过两种方式显式使用归纳法。一种是使用Id_rect
,Id_rec
或Id_ind
(在定义Id
时会自动声明)。例如,
Definition Id_sym {A: Type} {x y: A}: Id A x y -> Id A y x :=
Id_ind A x (fun y' _ => Id A y' x) (refl A x) y.
((使用一些隐式参数可能使它更易于阅读)。
最终,这将转换为match语句,因此您也可以使用它。
Definition Id_sym' {A: Type} {x y: A} (p: Id A x y): Id A y x :=
match p with
| refl _ _ => refl _ _
end.
要在定义中声明局部变量,可以使用let var := term in term
形式。例如,上面的Id_sym
可以重写为
Definition Id_sym'' {A: Type} {x y: A}: Id A x y -> Id A y x :=
let P := (fun y' _ => Id A y' x) in
Id_ind A x P (refl A x) y.