找到斜率变化点作为自由参数

Question

假设我有两个数据列表，如下所示：

x = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
y = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14]

也就是说，很明显，仅仅对这些数据拟合一条线是行不通的，而是数据中某个点的斜率发生了变化。 （显然，人们可以很容易地从这个数据集中查明变化在哪里，但在我正在使用的数据集中并不清楚，所以让我们忽略它。）我猜是与导数有关的东西，但这里的要点我想把它当作一个自由参数，我说“就是这个点，+/-这个不确定性，这是这个点之前和之后的线性斜率。”

注意，如果更容易的话，我可以使用数组来完成此操作。谢谢！

Answer 1

这是您的数据图：

您需要找到两个斜率（==取两个导数）。首先，找到每两点之间的斜率（使用

numpy

）：

import numpy as np 
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10],dtype=np.float)
y = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14],dtype=np.float)
m = np.diff(y)/np.diff(x)
print (m)
# [ 1.  1.  1.  1.  1.  2.  2.  2.  2.]

显然，在第六个间隔（第六点和第七点之间），斜率从 1 变为 2。然后求该数组的导数，它会告诉您斜率何时发生变化：

print (np.diff(m))
[ 0.  0.  0.  0.  1.  0.  0.  0.]

查找非零值的索引：

idx = np.nonzero(np.diff(m))[0]
print (idx)
# 4

由于我们对 x 求一阶导数，并且在 Python 中索引从零开始，

idx+2

告诉您第六个点之前和之后的斜率不同。

Answer 2

我不确定你想要什么，但你可以这样看到演变（衍生）：

>>> y = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14]
>>> dy=[y[i+1]-y[i] for i in range(len(y)-1)]
>>> dy
[1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2]

然后找到它变化的点（二阶导数）：

>>> dpy=[dy[i+1]-dy[i] for i in range(len(dy)-1)]
>>> dpy
[0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0]

如果你想要这个点的索引：

>>> dpy.index(1)
4

可以为您提供坡度变化之前最后一个点的值：

>>> change=dpy.index(1)
>>> y[change]
5

在您的

y = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14]

中，更改发生在索引

[4]

（列表索引从 0 开始），此时 y 的值为

5

。

Answer 3

您可以将斜率计算为每对点之间的差值（一阶导数）。然后检查斜率变化的位置（二阶导数）。如果发生变化，请将索引位置附加到

idx

（坡度发生变化的点的集合）。

请注意，第一个点没有唯一的斜率。第二对点将为您提供斜率，但您需要第三对点才能测量斜率的变化。

idx = []
prior_slope = float(y[1] - y[0]) / (x[1] - x[0])
for n in range(2, len(x)):  # Start from 3rd pair of points.
    slope = float(y[n] - y[n - 1]) / (x[n] - x[n - 1])
    if slope != prior_slope:
        idx.append(n)
    prior_slope = slope

>>> idx
[6]

当然，这可以在 Pandas 或 Numpy 中更有效地完成，但我只是给你一个简单的 Python 2 解决方案。

简单的条件列表理解也应该非常高效，尽管它更难理解。

idx = [n for n in range(2, len(x)) 
       if float(y[n] - y[n - 1]) / (x[n] - x[n - 1]) 
       != float(y[n - 1] - y[n - 2]) / (x[n - 1] - x[n - 2])]

Answer 4

拐点可能是一个潜在的解决方案。

from kneed import KneeLocator
import numpy as np 
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10])
y = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14])
kn = KneeLocator(x, y, curve='convex', direction='increasing') 
# You can use array y to automatically determine 'convex' and 'increasing' if y is well-behaved
idx = (np.abs(x - kn.knee)).argmin()

>>> print(x[idx], y[idx])
6 6