如何使用具有自定义日志概率的MCMC并解决矩阵问题

Question

代码在PyMC3中，但这是一个普遍的问题。我想找到哪个矩阵（变量组合）给我最高概率。取每个元素的痕迹的平均值是没有意义的，因为它们彼此依赖。

这是一个简单的案例;为简单起见，代码使用向量而不是矩阵。目标是找到长度为2的向量，其中每个值介于0和1之间，因此总和为1。

import numpy as np
import theano
import theano.tensor as tt
import pymc3 as mc

# define a theano Op for our likelihood function
class LogLike_Matrix(tt.Op):
    itypes = [tt.dvector] # expects a vector of parameter values when called
    otypes = [tt.dscalar] # outputs a single scalar value (the log likelihood)

    def __init__(self, loglike):
        self.likelihood = loglike        # the log-p function

    def perform(self, node, inputs, outputs):
        # the method that is used when calling the Op
        theta, = inputs  # this will contain my variables

        # call the log-likelihood function
        logl = self.likelihood(theta)

        outputs[0][0] = np.array(logl) # output the log-likelihood

def logLikelihood_Matrix(data):
    """
        We want sum(data) = 1
    """
    p = 1-np.abs(np.sum(data)-1)
    return np.log(p)

logl_matrix = LogLike_Matrix(logLikelihood_Matrix)

# use PyMC3 to sampler from log-likelihood
with mc.Model():
    """
        Data will be sampled randomly with uniform distribution
        because the log-p doesn't work on it
    """
    data_matrix = mc.Uniform('data_matrix', shape=(2), lower=0.0, upper=1.0)

    # convert m and c to a tensor vector
    theta = tt.as_tensor_variable(data_matrix)

    # use a DensityDist (use a lamdba function to "call" the Op)
    mc.DensityDist('likelihood_matrix', lambda v: logl_matrix(v), observed={'v': theta})

    trace_matrix = mc.sample(5000, tune=100, discard_tuned_samples=True)

Answer 1

如果您只想要最高似然参数值，那么您需要最大后验（MAP）估计，可以使用pymc3.find_MAP()获得（有关方法详细信息，请参阅starting.py）。如果您期望多模式后验，那么您可能需要使用不同的初始化重复运行此选项并选择获得最大logp值的那个，但这仍然只会增加找到全局最优值的机会，但不能保证它。

应当注意，在高参数维度下，MAP估计通常不是典型集合的一部分，即，它不代表将导致观察数据的典型参数值。 Michael Betancourt在A Conceptual Introduction to Hamiltonian Monte Carlo讨论了这个问题。完全贝叶斯方法是使用posterior predictive distributions，它有效地平均所有高似然参数配置，而不是使用参数的单点估计。