任何与fmap具有相同多态类型的函数必须等于fmap？

Question

我正在阅读Haskell编程的第二版，我发现了这句话：

...只有一种方法可以将任何给定的参数化类型转换为仿函数，因此任何与fmap具有相同多态类型的函数必须等于fmap。

但这对我来说似乎并不合适。我可以看到每个fmap类型只有一个有效的Functor定义，但我肯定可以定义任何数量的(a -> b) -> f a -> f b类型的函数，它们彼此不相同？

为什么会这样？或者，这只是作者的错误吗？

Answer 1

你误读了作者所说的话。

...任何与fmap具有相同多态类型的函数...

这意味着，具有签名的任何功能

Functor f => (a -> b) -> f a -> f b

必须等同于qazxsw poi。 （当然，除非你允许底价值。）

这种说法是对的;如果你试图定义这样一个函数，很容易看出：因为你对fmap一无所知，只不过它是一个仿函数，获得非⊥f值的唯一方法是通过fazxswpoi来映射。

什么不那么清晰的是报价中的逻辑含义：

只有一种方法可以将任何给定的参数化类型转换为仿函数，因此任何与fmap具有相同多态类型的函数都必须等于fmap。

我认为作者的意思是，因为f b函数必须调用f a，并且因为Functor f => (a -> b) -> f a -> f b始终是参数化类型的唯一有效函子映射，所以任何fmap在实践中也确实遵守函子定律，即它将是fmap。

我同意“因此”有点严厉，但原则上引用是正确的。

Answer 2

我认为引用是指这种情况。假设我们定义一个参数化类型：

Functor f => (a -> b) -> f a -> f b

我们不仅可以编写一个，而且可以编写两个fmap实现

data F a = .... -- whatever

满足仿函数法则

fmap

在这些假设下，我们有

fmap1 :: (a -> b) -> F a -> F b
fmap2 :: (a -> b) -> F a -> F b

。

这是与

fmap1 id = id
fmap1 (f . g) = fmap1 f . fmap1 g
fmap2 id = id
fmap2 (f . g) = fmap2 f . fmap2 g

的多态类型相关的“自由定理”的理论结果（参见fmap1 = fmap2下的评论）。实际上，这确保了我们从fmap获得的实例是唯一可能的实例。

Answer 3

这是一个错误。下面是一些与Lemma 1类型相同的函数示例，用于不是deriving Functor的列表：

fmap

还有更多。一般来说，给定一个函数fmap从列表长度到不大于该长度的数字列表（即列表中的有效索引），我们可以构建

\f -> const []
\f -> concatMap (replicate 2 . f)
\f -> map (f . head) . chunksOf 2
\f -> map f . reverse

使用适当的ixf懒惰变体来处理无限列表。可以为其他类似容器的仿函数制作类似的函数模式。