在 Python 中基于精度最大化乘数

Question

给定以下等式：

x / y = z

其中

x

的精度为5，

z

的精度为8，给定以下

x

，

y

的值：

from decimal import Decimal

x = Decimal('15.00000')
y = Decimal('81.63')
x_prec = 5
z_prec = 8


z_unrounded = x / y # 0.1837559720690922454979786843...
z = round(z_unrounded, z_prec) # 0.18375597

生成

0.18375597

的

z

值，当乘以

y

时给出

14.9999998311

的值。

给定 x 的精度，我们可以将

z

的值“最大化”为

0.18375603

，因为：

z_max = Decimal('0.18375603')
x_unrounded = y * z_max  # 15.0000047289
x = round(x_unrounded, x_prec) # 15.00000

我知道我可以在循环中找到这个

z_max

值：

extra_z = Decimal('0.0')
min_z = Decimal('0.00000001')

while True:
    next_z = z + extra_z + min_z
    if round(y * next_z, x_prec) > x:
        break
                
    extra_z += min_z

extra_z # 0.00000006
max_z = z + extra_z # 0.18375603

但是使用这种方法感觉不对，或者至少我缺少一些关于精度和

Decimal

值的关键见解。

是否有更清晰或更代数的计算方法

max_z

？

Answer 1

你在谈论重要的数字。 Wiki 上有很多信息。

如果 x=1.0 和 y=1.0，它们都有 2 个有效数字，并且您想找到 z 的最大允许范围，那么检查有效数字 x 的限制就足够了。在这种情况下，范围是从 0.95 到 1.049999。这两个值是 x_prec = 2 的极限，并且都将四舍五入为 1.0。

Answer 2

一般来说，两个数的乘积精度是两个因子的最小精度。对于第一个近似值（双关语），请查看维基百科关于 significant figures 的内容。要获得完全通用的答案，请查看 error analysis 的数学领域。在您的特定情况下，

x

和

y

的最小精度为

5

（来自

x

），因此它们的商也具有精度

5

– 在您的情况下为

0.18375

.