为什么 MATLAB 给出的积分值为负值？

Question

我正在尝试进行以下集成：

哪里

d >= 0

。

我尝试得到一个显式表达式，我认为结果应该是正值，因为被积函数大于或等于 0，但是 MATLAB 的符号积分给了我这个结果：

syms y d
assume(d>=0)
int(y^2*sqrt(-y^2+d*y),y,0,d)

ans =

-(5*pi*d^4)/128

所以我想知道为什么会出现负值。你知道如何解释这个结果吗？

Answer 1

这显然是一个错误，我已经向 MathWorks 提交了错误报告。您可以通过绘制被积函数并注意它在

[0 d]

范围内始终为正来确认这一点，从而确保积分应产生正值：

h = [];
for d = 1:5,
  y = linspace(0, d, 1000);
  h = [h; plot(y, f(y, d))];
  hold on;
end
legend(h, strcat({'d = '}, int2str((1:5).')));
xlabel('y');
ylabel('f(y)');
title('f(y) = y^2*sqrt(d*y - y^2)');

更新#1：

The MathWorks 的回复表明这可能是 MuPad 命令

limit

的问题。下面是 MuPad 中的不定积分：

在

y=d

处对其进行评估会给出正确的结果，但是当

y

接近 0 时在极限内对其进行评估会根据

d

是否在极限计算之前或之后被替换而给出不同的结果。这是一个带有

d=1

的示例：

注意第一项符号的变化。在这种情况下，在极限计算之前替换

d

会导致积分得到肯定（且正确）的评估。因此，MATLAB 似乎在极限计算后替换了

d

，给出了定积分错误的负结果。

更新#2：

我收到了后续回复，指出此错误现已在最新版本 R2018b 中得到解决。我能够在 R2018b 预发布中确认上述两个极限计算产生相同的结果，并且积分结果现在具有正确的符号：

syms y d
assume(d >= 0)
int(y^2*sqrt(-y^2+d*y), y, 0, d)

ans =

(5*pi*d^4)/128