不理解 Monoid 定义中态射的表示法

Question

我试图从范畴论的角度理解

Monoid

是什么，但我对用来描述它的符号有点困惑。这是维基百科：

在范畴论中，幺半群范畴（C，⊗，I）中的幺半群（或幺半群对象）（M，μ，η）是一个带有两个态射的对象 M

μ: M ⊗ M → M 称为乘法，

η: I → M 称为单位

我的困惑在于态射符号。为什么二元运算

⊗

是态射表示法的一部分？我对态射的理解是，它是一种可以从一种类型映射到另一种类型（域到共域）的函数，例如

M → M

。为什么操作

⊗

是定义中域的一部分？第二个困惑是关于

I

。为什么

I

是一个域？

I

中根本不存在

Monoid

对象。它只是物体的一个中性元素

M

。

我知道

Monoid

是一个具有一个对象、恒等态射和在此对象上定义的二元运算的范畴，但这种符号让我觉得我不明白某些东西。

M ⊗ M

是否与笛卡尔积有某种关系，因此态射的域被定义为

M x M

？

编辑：我在Mathematics Stack Exchange上得到了对我的问题非常有用的答案。

Answer 1

M ⊗ M

与笛卡尔积有什么关系吗，所以态射的域定义为

M x M

？

完全正确。更具体地说，我们通过选择

Hask

（所有 Haskell 类型作为对象，所有 Haskell 函数作为态射的类别）作为 C, Monoid (对类型构造函数）为 ⊗，

(,)

（单位类型）为 I。

μ

和η的签名，翻译成Haskell，则变成： () 通过柯里化

μ

，并利用 

μ :: (M, M) -> M
η :: () -> M

函数与 () -> M 值一一对应（对于某些

M

，它们看起来都像

\() -> m

），我们得到了熟悉的

 m

方法：Monoid请注意，分类定义远比

mappend :: M -> M -> M
mempty :: M

 更笼统。例如，我们可以继续在 

Hask

中工作，同时用它们的对偶

Monoid

和 (,) 替换

()

和

Either

，从而得到：Void每个 Haskell 类型都是幺半群

以这种特殊的方式

（

μ

是

μ :: Either A A -> A
η :: Void -> A

，η 是

either id id）。 另一个例子是将 C

视为 Haskell

---

absurd

的范畴（它们之间有自然变换——我将其写为 Functor——作为态射），

type f ~> g = forall a. f a -> g a 为 ⊗

，和 

Compose 为 I

:

Identity 这两个通常写为：

-- Note the arrows here are ~>, and not ->
μ :: Compose M M ~> M
η :: Identity ~> M

换句话说，

-- "Inlining" the definitions of Compose, Identity, and ~>
join :: M (M a) -> M a
return :: a -> M a

是

Monad

s类别中的幺半群（这是“单子是endofunctors类别中的幺半群”的

Hask

特定版本）。值得一提的是，正如在另一个例子中一样，这并不是将幺半群从该类别中分离出来的唯一方法（请参阅

这个答案

的最后一段以获取指针 - 事实上，其余部分可能是相关的）阅读，因为它讨论了幺半群范畴的概念）。